Capítulo 05 · La ciencia

Relatividad general

La relatividad especial dejó intacta la gravedad. A Einstein le costó otra década —y la matemática más ardua de su vida— rematar la tarea. El resultado, terminado en 1915, está considerado por muchos la teoría más bella de toda la física: la gravedad no es una fuerza que tira a través del espacio, sino la curvatura del propio espaciotiempo.

«El pensamiento más feliz de mi vida»

En 1907, ensoñando en la oficina de patentes, Einstein comprendió algo sencillo y profundo: una persona en caída libre no siente su propio peso. Un hombre que cae de un tejado, un astronauta en órbita, unas monedas soltadas en un ascensor en caída — todos flotan como si la gravedad se hubiera apagado.

Este principio de equivalencia —que la gravedad y la aceleración son localmente indistinguibles— fue su clave. Si la gravedad puede desaparecer con solo caer, quizá la gravedad no sea una fuerza en absoluto, sino algo relativo a la geometría del espacio y el tiempo.

Si una persona cae libremente, no sentirá su propio peso.Albert Einsteinrecordado en su conferencia de Kioto, 14 de diciembre de 1922 (la idea es de 1907; traducido de los apuntes japoneses, aquí del inglés)

Esto puede plantearse como un experimento mental. Imagina una cabina sin ventanas apoyada en la Tierra: una pelota que sueltas cae al suelo a 9,81 m/s². Ahora coloca la misma cabina lejos de toda estrella y deja que un cohete la empuje exactamente con esa aceleración: el suelo sube al encuentro de la pelota y, desde dentro, todo parece igual. Suelta la pelota, enciende la luz y solo entonces abre las ventanas.

Tu predicción

La cabina B es acelerada hacia arriba a 1 g por un cohete en el espacio vacío. Un rayo de luz cruza la cabina en horizontal. ¿Cómo se ve su trayectoria desde dentro?

Interactivo · principio de equivalencia

Dos cabinas, un mismo resultado

Ventanas cerradas: desde dentro, las dos cabinas parecen iguales.

Muy exagerado: en una cabina de 2 m de ancho, a 1 g el rayo solo baja unos 2 · 10−16 m, porque la luz tarda apenas unas 7 milmillonésimas de segundo en cruzarla.

Solución

BMuy ligeramente curvada hacia abajo.

Mientras la luz cruza la cabina, el suelo acelera hacia arriba, a su encuentro. Visto desde dentro, el rayo baja por un camino ligeramente curvado: en una cabina de 2 m de ancho, solo unos 2 · 10⁻¹⁶ m. En 1907 Einstein concluyó: como en una cabina sin ventanas no se puede distinguir la aceleración de la gravedad (principio de equivalencia), la gravedad de la Tierra también tiene que curvar un rayo de luz hacia abajo.

Para curiosos: el cálculo

La luz tarda t = 2 m / (3 · 10⁸ m/s) ≈ 6,7 · 10⁻⁹ s en recorrer 2 m. En ese tiempo el suelo avanza ½ · g · t² = ½ · 9,81 m/s² · (6,7 · 10⁻⁹ s)² ≈ 2,2 · 10⁻¹⁶ m: eso es lo que baja el rayo respecto a la cabina.

Fuente: Wikipedia: Principio de equivalencia

Retos0 de 3 hechos

  • Suelta la pelota y compara las dos cabinas.
  • Enciende la luz: ¿se curva el rayo igual en las dos cabinas?
  • Abre las ventanas y mira qué cabina está en la Tierra.
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La verdadera sorpresa es el rayo de luz. En el cohete se entiende por qué se curva: mientras la luz cruza la cabina, el suelo sube cada vez más deprisa. Pero si ningún experimento permite distinguir las dos cabinas, el rayo también tiene que curvarse en la Tierra. De ahí concluyó Einstein en 1911 que la gravedad desvía la luz; el valor correcto, el doble del que calculó entonces, lo dio en 1915 la teoría terminada.

Fuentes:
  1. Wikipedia: Relatividad general.
  2. Wikipedia: Principio de equivalencia.
  3. Wikipedia (en): Tests of general relativity — el valor de Einstein de 1911, obtenido solo del principio de equivalencia, y el valor doble de 1915.
  4. Cálculo propio para la cabina: descenso = ½ · g · (L/c)² con L = 2 m, g = 9,81 m/s², c = 299 792 458 m/s; resultan unos 2 · 10−16 m.

La materia le dice al espaciotiempo cómo curvarse

La imagen que da la relatividad general es esta: la masa y la energía deforman el espaciotiempo a su alrededor, como una bola pesada que hunde una lámina de goma tensa. Otros objetos —planetas, luz, tú— simplemente siguen las trayectorias más rectas posibles a través de esa geometría curva. Lo que sentimos como la «fuerza» de la gravedad es en realidad la curvatura del espaciotiempo guiando nuestro movimiento.

No lo hizo solo. Su viejo compañero de clase Marcel Grossmann le introdujo en la geometría no euclidiana de Riemann y en el cálculo tensorial que necesitaba. En las últimas semanas de 1915, Einstein compitió a contrarreloj con el gran matemático David Hilbert — y llegó, exhausto y triunfante, a las ecuaciones que llevan su nombre.

En el modelo de abajo, el espaciotiempo es una lámina tensa. Cuanto más pesada es la bola del centro, más profundo es el hundimiento, y una pequeña bola de prueba lanzada de lado recorre una trayectoria a su alrededor: si va muy despacio, cae dentro; si va demasiado rápido, escapa. Ajusta la masa, coloca la bola pesada en otro sitio con un clic o con las teclas de flecha y lanza la bola de prueba.

Tu predicción

¿A qué velocidad hay que empujar la bola de prueba para que escape del hundimiento, comparada con la que necesita para una órbita circular?

Interactivo · el espaciotiempo como lámina de goma

El hundimiento de la lámina

Ajusta la masa y lanza la bola de prueba.

La bola de prueba se mueve según la ley de gravitación de Newton; la profundidad del hundimiento solo es ilustrativa. Haz clic o toca para colocar la bola pesada en otro sitio.

Lo que la lámina de goma no cuenta

1 · Explica la gravedad con la gravedad

La bola pesada solo hunde la lámina porque la Tierra tira de ella hacia abajo, y la bola pequeña solo rueda hacia dentro por lo mismo. Quita la Tierra de debajo de la lámina y mira qué queda del modelo.

2 · Lo que de verdad atrae: el tiempo curvado

En la teoría de Einstein, los relojes cercanos a una masa van más despacio. En la Tierra el efecto es diminuto: un reloj un metro más alto va 1,1 · 10−16 más rápido, unas 3,4 milmillonésimas de segundo al año. En 2010, unos relojes atómicos lo midieron con solo 33 centímetros de diferencia de altura.

suelo 50 m 100 m

Animación: 100 m de altura; la diferencia de ritmo, exagerada unos cinco billones de veces.

Así, en 80 años la cabeza de una persona de 1,70 m envejece una media millonésima de segundo más que sus pies.

3 · El camino a través del espaciotiempo

Lanza una pelota hacia arriba: a los 2 segundos vuelve a estar abajo. En un dibujo de altura frente a tiempo, su camino es un arco. Según Einstein, un cuerpo en vuelo libre entre el lanzamiento y la caída toma el camino en el que su propio reloj marca más tiempo. Arriba los relojes van más rápido, así que compensa subir. Pero quien sube demasiado tiene que volar más deprisa, y los relojes rápidos van más despacio. Prueba distintos arcos.

0510 012 altura (m) tiempo (s) quieta
+2,32 · 10−16 s
tiempo de más en el reloj de la pelota frente a quedarse quieta en el suelo

Demasiado bajo: subir un poco más le daría al reloj más de lo que cuesta volar más deprisa.

Para los cuerpos lentos —pelotas, planetas, tú— la gravedad procede casi por completo del tiempo curvado. La curvatura del espacio, que es lo que muestra la lámina, es mucho más débil para ellos: solo aparece en efectos finos como los 43″ de Mercurio. La luz, en cambio, siente ambas a partes iguales. Por eso la desviación de la luz según Einstein (1,75″) es el doble que la de Newton (0,87″).

Para curiosos: el cálculo
  • Diferencia de ritmo de dos relojes separados una altura h: Δf/f ≈ g·h/c² = 9,81 m/s² · 1 m / (2,998 · 108 m/s)² ≈ 1,09 · 10−16; en un año (3,16 · 107 s) son 3,4 · 10−9 s.
  • Tiempo en un reloj a lo largo de un camino h(t), con poca velocidad y gravedad débil: τ ≈ ∫ (1 + g·h/c² − v²/(2c²)) dt.
  • Para arcos h(t) = k·t·(T − t) con T = 2 s, la ganancia frente a quedarse quieta es Δτ = T³/6 · (g·k − k²)/c². Es máxima para k = g/2: justo el lanzamiento que cae con g, altura máxima g·T²/8 = 4,9 m, ganancia 3,6 · 10−16 s.
  • Desviación de la luz: la curvatura del tiempo sola da 0,87″; la curvatura del espacio añade otro tanto, 1,75″ en total.
Fuentes:
  1. NIST (2010): relojes atómicos de aluminio muestran el efecto con 33 cm de diferencia de altura; Chou et al., «Optical Clocks and Relativity», Science 329, 1630–1633 (2010).
  2. Wikipedia: Dilatación gravitacional del tiempo.
  3. Carroll, Lecture Notes on General Relativity, arXiv:gr-qc/9712019: para cuerpos lentos solo cuenta la parte temporal de la geometría (límite newtoniano, cap. 4).
  4. Wikipedia (en): Geodesics in general relativity: una trayectoria en caída libre es, entre caminos vecinos, la de mayor tiempo propio; Taylor y Wheeler, Exploring Black Holes (2000): «principle of maximal aging».
  5. Will, “The Confrontation between General Relativity and Experiment”, Living Rev. Relativ. 17, 4 (2014), arXiv:1403.7377: desviación de la luz (1 + γ)/2 · 1,75″; γ mide la curvatura del espacio.
  6. Cálculo propio del ritmo de los relojes y del arco; véase «Para curiosos».
Solución

BA partir de unas 1,4 veces.

A partir de unas 1,4 veces la velocidad circular (exactamente √2 veces), la energía de movimiento basta para salir del hundimiento. Por debajo, la bola recorre elipses; al 100 %, casi un círculo, y con muy poca velocidad cae dentro. Las órbitas se calculan aquí con la ley de Newton; el hundimiento es solo una imagen. En la teoría de Einstein, una masa curva el espacio y el tiempo, y para cuerpos lentos como los planetas la mayor parte del efecto viene de la curvatura del tiempo. Eso no lo muestra ninguna lámina.

Para curiosos: el cálculo

Órbita circular: v = √(GM / r). Escape: energía de movimiento ≥ energía de enlace, ½ v² ≥ GM / r, así que v ≥ √(2GM / r) = √2 · √(GM / r) ≈ 1,41 veces la velocidad circular.

Fuente: Wikipedia: Velocidad de escape

Retos0 de 3 hechos

  • Pon la bola de prueba en una órbita casi circular.
  • Empuja la bola de prueba tan rápido que escape del hundimiento.
  • Quita la masa por completo: ¿qué hace ahora la bola de prueba?
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Aun así, la lámina de goma es solo una analogía con puntos débiles conocidos. Las bolas ruedan hacia dentro únicamente porque la gravedad de la Tierra tira de ellas hacia abajo; la imagen explica, pues, la gravedad con la gravedad. Y la curvatura del tiempo, esencial para la gravedad aquí en la Tierra, falta por completo.

Fuentes:
  1. Wikipedia: Ecuaciones del campo de Einstein.
  2. Wikipedia: Marcel Grossmann.
  3. Kaur, Blair et al., «Teaching the Einsteinian gravity paradigm» (2017), arXiv:1703.00164 — límites del modelo de la lámina.

El eclipse que lo hizo famoso

Una teoría vale lo que valen sus predicciones. La relatividad general hizo una atrevida: la gravedad debía curvar la luz. La luz estelar que roza el Sol debía desviarse unos 1,75 segundos de arco — el doble de lo que permitía la vieja física newtoniana.

No se ven estrellas junto al Sol… salvo durante un eclipse total. El 29 de mayo de 1919, dos expediciones organizadas por Frank Dyson y Arthur Eddington fotografiaron un eclipse — Eddington mismo desde Príncipe (frente a África Occidental), Andrew Crommelin y Charles Davidson desde Sobral (Brasil). Las estrellas se habían movido. Einstein tenía razón.

Cuando se anunciaron los resultados en noviembre de 1919, la prensa mundial estalló. The Times de Londres proclamó una «Revolución en la ciencia». De la noche a la mañana, Albert Einstein se convirtió en el científico más famoso de la Tierra — una celebridad mundial como ningún físico lo había sido jamás.

Lo diminuto que es el efecto se ve en el modelo de abajo. Alrededor del Sol oscurecido hay estrellas; según Einstein, la luz que roza justo el borde del Sol se desvía 1,75 segundos de arco, y al doble de distancia solo la mitad, porque la desviación disminuye con la distancia. El Sol actúa así como una débil lente gravitacional: las estrellas parecen algo más alejadas de él de lo que están en realidad. Cambia entre «Sin gravedad», «Newton» y «Einstein» y ajusta cuánto se amplía el desplazamiento.

Tu predicción

¿Cuánto parecen desplazarse las estrellas junto al borde del Sol? La predicción de Einstein de 1915, comparada con el valor que se obtiene de la teoría de Newton:

Interactivo · eclipse solar de 1919

Estrellas junto al borde del Sol

Einstein: 1,75″ en el borde del Sol, la mitad al doble de distancia.

Sin ampliar (×1), el desplazamiento es invisible: 1,75″ es más o menos una milésima del diámetro del Sol. El campo estelar es esquemático, inspirado en las Híades, y no respeta las posiciones reales. Anillos azul claro: donde estarían las estrellas sin el Sol.

Medido en 1919: desviación en el borde del Sol

Newton 0,87″ Einstein 1,75″
  • Sobral, lente de 4 pulgadas: 1,98″ ± 0,18″
  • Príncipe: 1,61″ ± 0,30″
  • Sobral, telescopio principal (descartado en 1919): 0,93″
  • Nueva medición de 1979: Sobral, lente de 4 pulgadas: 1,90″ ± 0,11″
  • Nueva medición de 1979: Sobral, telescopio principal: 1,55″ ± 0,34″

Valores y barras de error según Crispino y Kennefick (2019); para el telescopio principal de Sobral, el informe de 1919 no da un error fiable.

Placa fotográfica del eclipse solar total del 29 de mayo de 1919, usada para confirmar la relatividad general
Una de las placas del eclipse de 1919 de Eddington. Las estrellas cercanas al Sol oscurecido aparecían desplazadas — luz curvada por la gravedad del Sol, exactamente como Einstein predijo.Imagen: F. W. Dyson, A. S. Eddington & C. Davidson. Dominio público, vía Wikimedia Commons (Fuente)
Solución

BEl doble.

Einstein predijo 1,75″ en el borde del Sol; de la teoría de Newton salen 0,87″, justo la mitad. La diferencia se debe a que en la teoría de Einstein no solo se curva el tiempo, sino también el espacio, y los dos aportan más o menos lo mismo. Las dos series de medidas de 1919 en las que se basó el resultado dieron unos 1,6″ y 2,0″, más cerca de Einstein. Una nueva medición de las placas fotográficas en 1979 lo confirmó.

Para curiosos: el cálculo

Einstein: desviación en el borde del Sol α = 4GM / (c²R) ≈ 1,75″. Newton (luz como partículas): 2GM / (c²R) ≈ 0,87″. Al doble de distancia del centro del Sol, la desviación es en cada caso la mitad.

Fuente: Wikipedia: Pruebas de la relatividad general

Retos0 de 2 hechos

  • Elige la predicción de Newton y compara cuánto se mueven ahora las estrellas.
  • Pon la ampliación en ×1: así de pequeño es el desplazamiento en realidad.
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La precisión real de la medición de 1919 se ha debatido mucho tiempo. Las imágenes borrosas del telescopio principal de Sobral daban solo 0,93 segundos de arco y se descartaron; en 1980 los filósofos Earman y Glymour vieron en ello un posible sesgo a favor de Einstein. Sin embargo, ya en 1979 una nueva medición de las placas de Sobral con una máquina moderna había respaldado el resultado de Eddington, aunque pasó mucho tiempo inadvertida. La cuestión la zanjó la radioastronomía: desde finales de los años sesenta, los radiotelescopios miden la desviación en radiofuentes lejanas como los cuásares, sin necesidad de eclipse, y hoy las mediciones VLBI confirman el valor de Einstein con una precisión de un 0,03 %.

Fuentes:
  1. Wikipedia: Eclipse solar del 29 de mayo de 1919.
  2. Dyson, Eddington y Davidson, Phil. Trans. R. Soc. (1920).
  3. Crispino y Kennefick, «A hundred years of the first experimental test of general relativity», Nature Physics 15, 416–419 (2019), arXiv:1907.10687 — valores de 1919 y nueva medición de 1979.
  4. Kennefick, «Not Only Because of Theory: Dyson, Eddington and the Competing Myths of the 1919 Eclipse Expedition», arXiv:0709.0685 — las Híades, la crítica de 1980 y el reanálisis de 1979, pasado por alto.
  5. Wikipedia (en): Gravitational lens — ángulo de desviación θ = 4GM/(c²r), es decir, proporcional a 1/distancia; Angular diameter — diámetro aparente del Sol de 31′27″ a 32′32″.
  6. Wikipedia (en): Eddington experiment — mediciones de radio de finales de los sesenta; Tests of general relativity — VLBI, en torno al 0,03 %.

Interactivo · medir las placas de 1919

La mesa de luz de Eddington

Así se midió en 1919: la placa fotográfica tomada durante el eclipse se colocaba sobre una placa de comparación del mismo campo de estrellas, tomada de noche sin el Sol. Después, con un micrómetro, se medía cuánto se separaba cada estrella de una placa a otra.

1 · Coloca la placa del eclipse (dorada) sobre la placa nocturna (azul) de modo que coincidan las estrellas lejanas al Sol. Arrástrala, usa las flechas del teclado o pulsa el botón.

1234567 Placa nocturna, sin el Sol Eclipse, 29 de mayo de 1919

Las dos placas todavía están desalineadas.

2 · Elige estrellas cercanas al Sol y lee cuánto se han desplazado hacia fuera.

Lupa

Elige una estrella.

Comparación: desviación en el borde del Sol

Newton 0,87″ Einstein 1,75″
  • Sobral 1919, lente de 4 pulgadas: 1,98″ ± 0,18″
  • Príncipe 1919: 1,61″ ± 0,30″
  • Tu medida: —

En Sobral, las placas de comparación se tomaron allí mismo en julio de 1919; para Príncipe se habían tomado en Oxford antes de la partida. En las placas reales se veían pocas estrellas: siete en las mejores de Sobral.

Esquema: el campo de estrellas, su posición y los pequeños errores de medida son inventados, inspirados libremente en las Híades. El desplazamiento está dibujado 500 veces más grande; sin aumentar, 1,75″ sería menos de una milésima del diámetro del Sol.

Para curiosos: el cálculo

La desviación disminuye con la distancia: θ = 1,75″ · R/r (R = radio del Sol, r = distancia a su centro). Una estrella a 2,5 R se desplaza, por tanto, 1,75″ / 2,5 = 0,70″. A la inversa, cada lectura se extrapola al borde: θborde = θ · r/R. Tu medida es la media de esos valores extrapolados. La física de Newton, que trata la luz como partículas diminutas, da la mitad: 0,87″.

Fuentes:
  1. Kennefick, “Not Only Because of Theory: Dyson, Eddington and the Competing Myths of the 1919 Eclipse Expedition”, arXiv:0709.0685: las placas se sujetaban cara a cara y la separación de cada estrella se medía con un micrómetro.
  2. Crispino & Kennefick, Nature Physics 15, 416–419 (2019), arXiv:1907.10687: los valores 1,98 ± 0,18″ (Sobral, lente de 4 pulgadas) y 1,61 ± 0,30″ (Príncipe); placas de comparación en Sobral en julio de 1919 y, para Príncipe, en Oxford.
  3. Wikipedia (en): Eddington experiment: Híades, placas de comparación tomadas de noche meses después o antes, siete estrellas en las placas de la lente de 4 pulgadas de Sobral.
  4. Wikipedia (en): Gravitational lens: desviación proporcional a 1/distancia; Dyson, Eddington y Davidson, Phil. Trans. R. Soc. A 220, 291–333 (1920).

Predicciones que siguen cumpliéndose

Un siglo después, la relatividad general ha superado todas las pruebas — a menudo otras que Einstein no llegó a ver.

La órbita de Mercurio

Una diminuta anomalía centenaria en la órbita de Mercurio —43 segundos de arco por siglo— que Newton no podía explicar surgió exacta de las ecuaciones de Einstein. Fue su primer triunfo.

Lentes gravitacionales

Las galaxias masivas curvan la luz de los objetos que tienen detrás formando arcos e imágenes múltiples — la gravedad como lente cósmica, hoy herramienta habitual de la astronomía.

Agujeros negros

Regiones donde el espaciotiempo se curva tan abruptamente que ni la luz escapa. Fotografiados por primera vez en 2019 — una predicción que a Einstein le inquietaba.

Ondas gravitacionales

Ondulaciones del espaciotiempo producidas por agujeros negros que chocan. Predichas en 1916, detectadas por LIGO en 2015 — cerca de un siglo después.

La órbita de Mercurio es una elipse cuyo punto más cercano al Sol, el perihelio, gira despacio alrededor del Sol: unos 575 segundos de arco por siglo. Unos 532 se deben a la atracción de Venus, Júpiter, la Tierra y los demás planetas, y la física de Newton los explica. Los 43 restantes fueron un enigma desde que Urbain Le Verrier advirtió en 1859 que la órbita de Mercurio no encajaba con la teoría de Newton (su cifra de 38 segundos de arco se refinó más tarde a 43), hasta que Einstein los calculó con su nueva teoría el 18 de noviembre de 1915. Deja correr el tiempo y activa y desactiva la corrección de Einstein.

Tu predicción

La elipse de la órbita de Mercurio gira cada siglo unos 43 segundos de arco más de lo que explica la teoría de Newton. 3600 segundos de arco son un grado. ¿Cuánto tarda ese resto en sumar un grado?

Interactivo · el perihelio de Mercurio

La elipse que gira

0″
resto que Newton no explica
42,98″
por siglo: la parte de Einstein

Giro observado: unos 575″ por siglo

532″ atracción de los demás planetas (Newton)43″ Einstein

Muy exagerado: la elipse está dibujada mucho más alargada que la órbita real de Mercurio y el giro está ampliado 25 veces. Los 532″ debidos a los planetas se han descontado; solo se ve el resto de 43″ por siglo. El punto no se mueve a su ritmo real.

Solución

BUnos 8400 años.

3600″ entre 43″ por siglo dan unos 84 siglos, es decir, unos 8400 años. El efecto es diminuto y, aun así, Urbain Le Verrier ya lo había identificado como un enigma en 1859. La teoría general de la relatividad de Einstein explicó exactamente ese resto en 1915.

Para curiosos: el cálculo

3600″ / 42,98″ por siglo ≈ 83,8 siglos ≈ 8380 años.

Fuente: Wikipedia: Pruebas de la relatividad general

Retos0 de 3 hechos

  • Deja pasar el tiempo necesario para que el resto de Newton llegue a un grado aproximadamente.
  • Incluye la corrección de Einstein: ¿coinciden ahora la predicción y la observación?
  • Deja correr el tiempo hasta el final: 3000 siglos.
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La Cruz de Einstein: un cuásar lejano convertido en cuatro imágenes por una galaxia en primer plano
La «Cruz de Einstein»: un cuásar lejano, dividido en cuatro imágenes por la gravedad de una galaxia situada delante — lente gravitacional, predicha por la relatividad.Imagen: NASA, ESA & STScI. Dominio público, vía Wikimedia Commons (Fuente)
Ilustración de una lente gravitacional: la luz se curva alrededor de un objeto masivo
Cómo funciona: la luz de una fuente lejana se curva al pasar junto a un objeto masivo, distorsionando y multiplicando su imagen.Imagen: NASA / ESA. Dominio público, vía Wikimedia Commons (Fuente)
Fuentes:
  1. Wikipedia: Pruebas de la relatividad general.
  2. ondas gravitacionales; lente gravitacional.
  3. Imágenes: NASA/ESA/STScI, dominio público, vía Wikimedia Commons.
  4. Park et al., «Precession of Mercury's Perihelion from Ranging to the MESSENGER Spacecraft», The Astronomical Journal 153, 121 (2017), doi:10.3847/1538-3881/aa5be2 — 532″ por los planetas, 42,98″ por la relatividad general, 575,3″ por siglo en total.
  5. Einstein, «Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie», Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, 18 de noviembre de 1915, pp. 831–839 (CERN Document Server); Le Verrier, 1859: Wikipedia (en).