第05章 · 科学
一般相対性理論
特殊相対性理論は重力に手をつけなかった。アインシュタインがその仕事を仕上げるには、さらに十年——そして生涯で最も難しい数学——が必要だった。1915年に完成したその成果は、物理学全体で最も美しい理論として広く称えられている。重力とは、空間を横切って引っぱる力ではなく、時空そのものの曲がりなのだ。
「人生で最も幸福な考え」
1907年、特許局で空想にふけっていたアインシュタインは、単純で深いことに気づいた。自由落下する人は、自分の体重を感じない。屋根から落ちる人、軌道上の宇宙飛行士、落下するエレベーターの中で離されたコイン——みな、まるで重力が消えたかのように浮かぶ。
この等価原理——重力と加速は局所的に区別できない——が彼の鍵だった。ただ落ちるだけで重力が消えうるなら、重力はそもそも力ではなく、空間と時間の幾何に関わる何かなのかもしれない。
人が自由に落下すれば、その人は自分の体重を感じないだろう。アルベルト・アインシュタイン京都での講演での回想、1922年12月14日（着想は1907年のもの。日本語のノートからの翻訳で、ここでは英語版より）
これは思考実験として確かめられる。地球の上に置かれた窓のない箱を思い浮かべよう。手を放したボールは 9.81 m/s² で床へ落ちる。次に同じ箱をあらゆる星から遠く離れた場所に置き、ロケットでちょうど同じ加速度で押してみる。床がボールに向かって迫ってきて、中から見るとまったく同じに見える。ボールを放し、ライトをつけ、それから窓を開けてみよう。
本当に驚くべきなのは光線のほうだ。ロケットの中なら、なぜ曲がるのかはすぐわかる。光が箱を横切るあいだに、床がどんどん速く上がってくるからだ。しかし二つの箱をどんな実験でも区別できないのなら、光線は地球の上でも曲がるはずだ。ここからアインシュタインは 1911 年、重力が光を曲げると結論した。正しい大きさ——当時計算した値の 2 倍——を与えたのは、1915 年に完成した理論だった。
- ウィキペディア：一般相対性理論。
- ウィキペディア：等価原理。
- ウィキペディア（英語）：Tests of general relativity——等価原理だけから得た 1911 年の値と、2 倍になった 1915 年の値。
- 箱についての自前の計算：下がる量 = ½ · g · (L/c)²、L = 2 m、g = 9.81 m/s²、c = 299,792,458 m/s で、約 2 × 10−16 m。
物質が時空に、どう曲がるかを告げる
一般相対性理論が私たちに与える描像はこうだ。質量とエネルギーは、その周囲の時空をゆがめる——重い球が、張ったゴムのシートをへこませるように。ほかの物体——惑星、光、あなた——は、その曲がった幾何のなかで取りうる最もまっすぐな経路をたどるだけだ。私たちが重力の「力」として感じるものは、実は、私たちの運動を導く時空の曲がりなのである。
彼は一人で成し遂げたのではない。旧友マルセル・グロスマンが、リーマンの非ユークリッド幾何と、彼に必要なテンソル解析を手ほどきした。1915年の最後の数週間、アインシュタインは偉大な数学者ダフィット・ヒルベルトと先陣を争い——疲れ果て、しかし勝ち誇って、彼の名を冠する方程式にたどり着いた。
下のモデルでは、時空は張ったシートだ。まん中の球が重いほどくぼみは深くなり、横から転がした小さな試験球はそのまわりを回る。とても遅ければ落ち込み、速すぎれば逃げ出す。質量を決め、クリックか矢印キーで重い球を別の場所に置き、試験球を転がしてみよう。
とはいえ、ゴムのシートはよく知られた弱点をもつたとえにすぎない。球が内側へ転がるのは、地球の重力が下へ引っぱっているからで、この図は重力を重力で説明していることになる。そして、地球の上の重力にとって決定的な時間の曲がりが、そこにはまったく含まれていない。
- ウィキペディア：アインシュタイン方程式。
- ウィキペディア：マルセル・グロスマン。
- Kaur、Blair ほか「Teaching the Einsteinian gravity paradigm」（2017）、arXiv:1703.00164——シートのモデルの限界。
彼を有名にした日食
理論は、その予言の良し悪しがすべてだ。一般相対性理論は大胆な予言をした。重力は光を曲げるはずだ。太陽をかすめる星の光は、約1.75秒角だけ偏向するはず——古いニュートン物理が許す量の二倍である。
太陽のそばの星は見えない……皆既日食のときを除いては。1919年5月29日、フランク・ダイソンとアーサー・エディントンが組織した二つの遠征隊が日食を撮影した。エディントン自身はプリンシペ島（西アフリカ沖）、アンドルー・クロメリンとチャールズ・デイヴィッドソンはソブラル（ブラジル）である。星は動いていた。アインシュタインは正しかった。
1919年11月に結果が公表されると、世界中の報道が沸き立った。ロンドンのタイムズは「科学における革命」と宣言した。一夜にして、アルベルト・アインシュタインは地球で最も有名な科学者となった——かつてどの物理学者もなったことのない、世界的な著名人に。
この効果がどれほど小さいかは、下のモデルでわかる。隠された太陽のまわりに星がある。アインシュタインによれば、太陽のふちをかすめる光は 1.75 秒角曲げられ、距離が 2 倍なら半分しか曲がらない。曲がりは距離とともに小さくなるからだ。こうして太陽は弱い重力レンズとしてはたらき、星は実際より少し太陽から離れて見える。「重力なし」「ニュートン」「アインシュタイン」を切り替え、ずれをどれだけ拡大するかを決めてみよう。
太陽のふちの星
アインシュタイン：太陽のふちで 1.75″、距離が 2 倍なら半分。
拡大しなければ（×1）ずれは見えない：1.75″ は太陽の直径のおよそ 1000 分の 1 だ。星の配置は模式的で、ヒアデス星団を参考にしたもの。実際の位置ではない。水色の輪：太陽がなければ星があるはずの位置。
1919 年の測定：太陽のふちでの曲がり
- ソブラル、4 インチレンズ: 1.98″ ± 0.18″
- プリンシペ: 1.61″ ± 0.30″
- ソブラル、主望遠鏡（1919 年に除外）: 0.93″
- 1979 年の再測定：ソブラル、4 インチレンズ: 1.90″ ± 0.11″
- 1979 年の再測定：ソブラル、主望遠鏡: 1.55″ ± 0.34″
値と誤差棒は Crispino と Kennefick（2019）による。ソブラルの主望遠鏡について、1919 年の報告は信頼できる誤差を示していない。
1919 年の測定が本当はどれほど正確だったのかは、長く議論されてきた。ソブラルの主望遠鏡のぼやけた像からは 0.93 秒角しか得られず、除外された。1980 年、哲学者のアーマン（Earman）とグリモア（Glymour）は、そこにアインシュタイン寄りの偏りがあった可能性を指摘した。しかしすでに 1979 年、ソブラルの乾板を現代の測定機で測り直した結果がエディントンの結論を支持していた。ただしそれは長く見過ごされた。決着をつけたのは電波天文学だ。1960 年代の終わりから、電波望遠鏡は日食を待たずにクエーサーなど遠くの電波源で曲がりを測っており、今日では VLBI（超長基線電波干渉法）の測定がアインシュタインの値を約 0.03% の精度で確かめている。
- ウィキペディア：エディントンの実験。
- Dyson、Eddington & Davidson、Phil. Trans. R. Soc.（1920）。
- Crispino、Kennefick「A hundred years of the first experimental test of general relativity」、Nature Physics 15, 416–419（2019）、arXiv:1907.10687——1919 年の値と 1979 年の再測定。
- Kennefick「Not Only Because of Theory: Dyson, Eddington and the Competing Myths of the 1919 Eclipse Expedition」、arXiv:0709.0685——ヒアデス星団、1980 年の批判、見過ごされた 1979 年の再解析。
- ウィキペディア（英語）：Gravitational lens——曲がる角度 θ = 4GM/(c²r)、つまり距離に反比例；Angular diameter——太陽の見かけの直径は 31′27″〜32′32″。
- ウィキペディア（英語）：Eddington experiment——1960 年代終わりの電波測定；Tests of general relativity——VLBI で約 0.03%。
- Kennefick, “Not Only Because of Theory: Dyson, Eddington and the Competing Myths of the 1919 Eclipse Expedition”, arXiv:0709.0685: 乾板を膜面どうし合わせて留め、星ごとのずれをマイクロメーターで測った.
- Crispino & Kennefick, Nature Physics 15, 416–419 (2019), arXiv:1907.10687: 値 1.98 ± 0.18″（ソブラル、4インチレンズ）と 1.61 ± 0.30″（プリンシペ）。比較用の乾板はソブラルでは1919年7月に、プリンシペ分はオックスフォードで撮影.
- Wikipedia（英語）：Eddington experiment: ヒアデス星団、数か月離れた夜に撮った比較用の乾板、ソブラルの4インチレンズの乾板に写った星は7個.
- Wikipedia（英語）：Gravitational lens: 曲がりは距離に反比例する; Dyson・Eddington・Davidson、Phil. Trans. R. Soc. A 220, 291–333（1920年）。
いまも実現しつづける予言
一世紀を経て、一般相対性理論はあらゆる検証を通過してきた——アインシュタインが見届けるまで生きられなかったものも多い。
水星の軌道
水星の軌道にある、一世紀来のごく小さな異常——一世紀あたり43秒角——をニュートンは説明できなかったが、アインシュタインの方程式から正確に導かれた。これが彼の最初の勝利だった。
重力レンズ
大質量の銀河は、その背後にある天体の光を弧や複数の像に曲げる——宇宙のレンズとしての重力で、いまや天文学の日常的な道具だ。
ブラックホール
時空がきわめて急に曲がり、光さえも逃げられない領域。2019年に初めて撮影された——アインシュタインを悩ませた予言である。
重力波
衝突するブラックホールが生む時空のさざ波。1916年に予言され、2015年にLIGOが検出——約一世紀後に。
水星の軌道は楕円で、太陽にいちばん近い点である近日点が、太陽のまわりをゆっくり回っている。その量は 1 世紀あたり約 575 秒角。そのうち約 532 秒角は金星、木星、地球、ほかの惑星の引力によるもので、ニュートンの物理学で説明がつく。残りの 43 秒角は、1859 年にユルバン・ルヴェリエが水星の軌道がニュートンの理論に合わないことに気づいて以来の謎だった（彼の 38 秒角という値は後に 43 秒角に改められた）が、1915 年 11 月 18 日、アインシュタインが新しい理論から計算してみせた。時間を進め、アインシュタインの補正を入れたり外したりしてみよう。
- ウィキペディア：一般相対論の検証。
- 重力波；重力レンズ。
- 画像：NASA/ESA/STScI、パブリックドメイン、Wikimedia Commons より。
- Park ほか「Precession of Mercury's Perihelion from Ranging to the MESSENGER Spacecraft」、The Astronomical Journal 153, 121（2017）、doi:10.3847/1538-3881/aa5be2——惑星による 532″、一般相対論による 42.98″、合計 1 世紀あたり 575.3″。
- アインシュタイン「Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie」、プロイセン科学アカデミー会議報告、1915 年 11 月 18 日、831–839 ページ（CERN Document Server）；ルヴェリエ 1859 年：ウィキペディア（英語）。