なぜすべては同じ速さで落ちるのか

1 · 重力を重力で説明している

重い球がシートをへこませるのは、地球が球を下へ引っぱっているからにすぎない。試験球が転がりこむのも同じ理由だ。シートの下から地球を取りのぞいて、模型に何が残るか見てみよう。

2 · 本当に引っぱっているもの：曲がった時間

アインシュタインの理論では、質量の近くにある時計ほどゆっくり進む。地球上ではごくわずかで、1メートル高い時計は 1.1 × 10⁻¹⁶ だけ速く進む。1年で約3.4ナノ秒だ。2010年には、原子時計がわずか33センチの高さの差でこれを測定した。

アニメーション：高さの差は100メートル、進み方の差はおよそ5兆倍に誇張してある。

だから身長1.70メートルの人は、80年で頭が足より約0.5マイクロ秒だけ多く年をとる。

3 · 時空を通る道すじ

ボールを真上に投げると、2秒後にまた下に戻ってくる。高さと時間のグラフでは、その道すじは弧になる。アインシュタインによれば、自由に飛ぶ物体は、投げてから着地するまでのあいだ、自分の時計がいちばん多くの時間を刻む道を選ぶ。高い所では時計が速く進むので、上へ飛ぶと得をする。でも高く行きすぎると速く飛ばなければならず、速く動く時計は遅れる。いろいろな弧を試してみよう。

低すぎる。もう少し高く上がれば、速く飛ぶ損よりも時計の得のほうが大きい。

ゆっくり動く物体――ボールや惑星、そしてきみ――にとって、重力はほとんど曲がった時間から生まれる。シートが示す空間の曲がりは、こうした物体にはずっと弱くしか効かず、水星の 43″ のような細かな効果にしか現れない。一方、光は両方を半分ずつ感じる。だからアインシュタインによる光の曲がり（1.75″）は、ニュートンの値（0.87″）のちょうど2倍になる。

もっと知りたい人へ：計算

• 高さが h だけ違う2つの時計の進み方の差：Δf/f ≈ g·h/c² = 9.81 m/s² · 1 m / (2.998 · 10⁸ m/s)² ≈ 1.09 · 10⁻¹⁶。1年（3.16 · 10⁷ s）で 3.4 · 10⁻⁹ s になる。
• 道すじ h(t) に沿って動く時計が刻む時間（ゆっくり動き、重力が弱い場合）：τ ≈ ∫ (1 + g·h/c² − v²/(2c²)) dt。
• T = 2 s の弧 h(t) = k·t·(T − t) では、じっとしている場合に比べた得は Δτ = T³/6 · (g·k − k²)/c²。k = g/2 のとき最大になる。これは g で落ちる投げ上げそのもので、最高点は g·T²/8 = 4.9 m、得は 3.6 · 10⁻¹⁶ s。
• 光の曲がり：時間の曲がりだけで 0.87″、空間の曲がりが同じだけ加わって、合計 1.75″。