Lernreise · Etappe 2

Warum fällt alles gleich schnell?

Ohne Luft fallen eine Feder und ein Hammer gleich schnell. Aber warum eigentlich? Einsteins Antwort hat unser Bild von der Schwerkraft umgekrempelt. Drei Stationen: Bei jeder legst du dich zuerst fest, dann prüfst du es im Experiment nach.

Station 1 von 3

Der fensterlose Aufzug

1907 arbeitete Einstein noch im Patentamt in Bern, als ihm auffiel: Wer frei fällt, spürt sein eigenes Gewicht nicht. Später nannte er das seinen „glücklichsten Gedanken“. Daraus wurde ein Gedankenexperiment mit zwei Kabinen ohne Fenster.

Die Stationen brauchen JavaScript. Die Experimente selbst stehen auch im Kapitel Allgemeine Relativitätstheorie.

Interaktiv · Äquivalenzprinzip

Zwei Kabinen, ein Ergebnis

Fenster zu: Von innen sehen beide Kabinen gleich aus.

Stark übertrieben: In einer 2 m breiten Kabine sinkt der Lichtstrahl bei 1 g nur um rund 2 · 10−16 m, denn das Licht braucht für die Strecke bloß etwa 7 Milliardstelsekunden.

Station 2 von 3

Gummituch und Merkur

1915 war Einsteins Antwort fertig: Masse krümmt die Raumzeit, und Körper folgen dieser Krümmung. Das bekannteste Bild dafür ist ein Gummituch mit einer schweren Kugel. Den ersten großen Test bestand die Theorie an einem winzigen Rätsel in der Bahn des Merkur.

Die Stationen brauchen JavaScript. Die Experimente selbst stehen auch im Kapitel Allgemeine Relativitätstheorie.

Interaktiv · Raumzeit als Gummituch

Die Delle im Tuch

Stell die Masse ein und stoß die Probekugel an.

Die Probekugel bewegt sich nach Newtons Gravitationsgesetz; die Tiefe der Delle ist nur zur Anschauung gezeichnet. Die schwere Kugel lässt sich mit Maus oder Finger an einen anderen Platz setzen.

Was das Gummituch verschweigt

1 · Es erklärt Schwerkraft mit Schwerkraft

Die schwere Kugel drückt die Delle nur hinein, weil die Erde sie nach unten zieht, und die kleine Kugel rollt nur deshalb hinein. Nimm die Erde unter dem Tuch weg und sieh, was vom Modell übrig bleibt.

2 · Was wirklich zieht: die gekrümmte Zeit

In Einsteins Theorie gehen Uhren nahe einer Masse langsamer. Auf der Erde ist das winzig: Eine Uhr einen Meter höher geht um 1,1 · 10−16 schneller, das sind rund 3,4 Milliardstelsekunden im Jahr. Atomuhren haben das 2010 schon bei 33 Zentimetern Höhenunterschied gemessen.

Boden 50 m 100 m

Animation: 100 m Höhenunterschied, Gangunterschied rund fünf Billionen Mal übertrieben.

Der Kopf eines 1,70 m großen Menschen altert so in 80 Jahren um rund eine halbe Millionstelsekunde mehr als seine Füße.

3 · Der Weg durch die Raumzeit

Wirf einen Ball senkrecht hoch: Nach 2 Sekunden ist er wieder unten. In einem Bild aus Höhe und Zeit ist sein Weg ein Bogen. Nach Einstein nimmt ein frei fliegender Körper zwischen Abwurf und Landung den Weg, auf dem seine eigene Uhr die meiste Zeit anzeigt. Oben gehen Uhren schneller, also lohnt es sich hinaufzufliegen. Wer aber zu hoch will, muss schneller fliegen, und schnelle Uhren gehen langsamer. Probier verschiedene Bögen aus.

0510 012 Höhe (m) Zeit (s) liegen bleiben
+2,32 · 10−16 s
mehr Zeit auf der Uhr des Balls als beim Liegenbleiben am Boden

Zu niedrig: Etwas höher hinauf brächte der Uhr mehr, als das schnellere Fliegen kostet.

Bei langsamen Körpern – Bällen, Planeten, dir – entsteht die Schwerkraft fast ganz aus der gekrümmten Zeit. Die Krümmung des Raums, die das Tuch zeigt, ist für sie viel schwächer – sie zeigt sich erst in feinen Effekten wie Merkurs 43″. Licht dagegen spürt beide zu gleichen Teilen. Deshalb ist Einsteins Lichtablenkung (1,75″) doppelt so groß wie Newtons (0,87″).

Für Neugierige: die Rechnung
  • Gangunterschied zweier Uhren im Höhenabstand h: Δf/f ≈ g·h/c² = 9,81 m/s² · 1 m / (2,998 · 108 m/s)² ≈ 1,09 · 10−16; in einem Jahr (3,16 · 107 s) sind das 3,4 · 10−9 s.
  • Zeit auf einer Uhr entlang eines Wegs h(t), langsam und im schwachen Schwerefeld: τ ≈ ∫ (1 + g·h/c² − v²/(2c²)) dt.
  • Für Bögen h(t) = k·t·(T − t) mit T = 2 s ergibt sich gegenüber dem Liegenbleiben ein Zeitgewinn Δτ = T³/6 · (g·k − k²)/c². Am größten ist er für k = g/2: genau der Wurf, der mit g fällt, Gipfel g·T²/8 = 4,9 m, Gewinn 3,6 · 10−16 s.
  • Lichtablenkung: Die Krümmung der Zeit allein ergibt 0,87″, die Krümmung des Raums noch einmal genauso viel, zusammen 1,75″.
Quellen:
  1. NIST (2010): Aluminium-Atomuhren zeigen den Effekt schon bei 33 cm Höhenunterschied; Chou u. a., „Optical Clocks and Relativity“, Science 329, 1630–1633 (2010).
  2. Wikipedia: Zeitdilatation durch Gravitation.
  3. Carroll, Lecture Notes on General Relativity, arXiv:gr-qc/9712019: für langsame Körper zählt nur der Zeitanteil der Geometrie (newtonscher Grenzfall, Kap. 4).
  4. Wikipedia (en): Geodesics in general relativity: eine frei fallende Bahn ist unter benachbarten Wegen die mit der längsten Eigenzeit; Taylor & Wheeler, Exploring Black Holes (2000): „principle of maximal aging“.
  5. Will, “The Confrontation between General Relativity and Experiment”, Living Rev. Relativ. 17, 4 (2014), arXiv:1403.7377: Lichtablenkung (1 + γ)/2 · 1,75″, γ misst die Krümmung des Raums.
  6. Eigene Rechnung zu Uhrengang und Bogen, siehe „Für Neugierige“.

Interaktiv · Merkurs Perihel

Die Ellipse, die sich dreht

0″
Rest, den Newton nicht erklärt
42,98″
je Jahrhundert: Einsteins Anteil

Beobachtete Drehung: rund 575″ je Jahrhundert

532″ Zug der anderen Planeten (Newton)43″ Einstein

Stark übertrieben: Die Ellipse ist viel länglicher gezeichnet als Merkurs echte Bahn, und die Drehung ist 25-fach vergrößert. Die 532″ durch die Planeten sind herausgerechnet; zu sehen ist nur der Rest von 43″ je Jahrhundert. Der Punkt läuft nicht im echten Takt.

Station 3 von 3

Die Sonnenfinsternis von 1919

Wenn Schwerkraft Licht ablenkt, muss Sternenlicht, das knapp an der Sonne vorbeistreift, ein wenig abgeknickt werden. Sehen kann man solche Sterne nur, wenn der Mond die Sonne verdeckt. Zur totalen Sonnenfinsternis am 29. Mai 1919 schickten die britischen Astronomen Frank Dyson und Arthur Eddington zwei Expeditionen los: auf die Insel Príncipe vor Westafrika und nach Sobral in Brasilien.

Die Stationen brauchen JavaScript. Die Experimente selbst stehen auch im Kapitel Allgemeine Relativitätstheorie.

Interaktiv · Sonnenfinsternis 1919

Sterne am Rand der Sonne

Einstein: 1,75″ am Sonnenrand, bei doppeltem Abstand halb so viel.

Unvergrößert (×1) ist die Verschiebung unsichtbar: 1,75″ sind rund ein Tausendstel des Sonnendurchmessers. Das Sternfeld ist schematisch, angelehnt an die Hyaden, und nicht positionsgetreu. Hellblau umrandet: wo die Sterne ohne Sonne stünden.

Gemessen 1919: Ablenkung am Sonnenrand

Newton 0,87″ Einstein 1,75″
  • Sobral, 4-Zoll-Linse: 1,98″ ± 0,18″
  • Príncipe: 1,61″ ± 0,30″
  • Sobral, Hauptteleskop (1919 verworfen): 0,93″
  • Neuvermessung 1979: Sobral, 4-Zoll-Linse: 1,90″ ± 0,11″
  • Neuvermessung 1979: Sobral, Hauptteleskop: 1,55″ ± 0,34″

Werte und Fehlerbalken nach Crispino & Kennefick (2019); für das Hauptteleskop in Sobral nennt der Bericht von 1919 keinen belastbaren Fehler.

Fotoplatte der totalen Sonnenfinsternis vom 29. Mai 1919
Eine Fotoplatte der Finsternis von 1919. Die Sterne nahe der verdeckten Sonne erschienen ein wenig nach außen verschoben.Bild: F. W. Dyson, A. S. Eddington & C. Davidson. Gemeinfrei, über Wikimedia Commons (Quelle)
Quellen:
  1. Wikipedia: Äquivalenzprinzip (Physik)
  2. Wikipedia (englisch): History of general relativity – der „glücklichste Gedanke“ von 1907
  3. Wikipedia: Apollo 15 – Hammer und Feder auf dem Mond
  4. Wikipedia: Tests der allgemeinen Relativitätstheorie
  5. Wikipedia: Vulkan (Planet)
  6. Magdalena Kersting: Free fall in curved spacetime – how to visualise gravity in general relativity. Physics Education 54 (2019), 035008
  7. Wikipedia (englisch): Gravitational time dilation
  8. Wikipedia: Sonnenfinsternis vom 29. Mai 1919
  9. Luís C. B. Crispino, Daniel Kennefick: 100 years of the first experimental test of General Relativity. Nature Physics 15 (2019), arXiv:1907.10687