思考実験室 · 光と相対性
光が遅い世界
光が自転車より速くない町を想像してみよう。アインシュタインの理論が光速に近い宇宙船について予言することが、その町ではパン屋へ行く途中で起こる。走り抜けて、何が変わり、何が変わらないかを確かめよう。
古いアイデア：トムキンス氏、自転車に乗る
物理学者ジョージ・ガモフは、トムキンス氏という銀行員を考え出した。彼は相対性理論の講演中に眠り込み、光の速さが時速わずか約10マイル（約16 km）しかない町の夢を見る。そこでは通り過ぎる自転車乗りがはっきり縮んで見える。ガモフの物語は1938年からイギリスの雑誌『Discovery』に掲載され、1939/1940年に『Mr Tompkins in Wonderland』として本になった（資料によって年が異なる）。
2012年、MITゲームラボは同じ発想を無料ゲーム『A Slower Speed of Light』にした。光る玉を集めるたびに光が遅くなり、最後には歩く速さとほとんど変わらなくなる。このゲームは縮んだ長さや遅れる時計だけでなく、ずれた色のように、実際に目に見えるはずのものも表現している。
このページはそのアイデアを簡単な2Dの形で借りている。そして二つのことを厳しく分けている。あなたが測るものと、あなたに見えるものだ。
- G. Gamow『Mr Tompkins in Wonderland』ケンブリッジ大学出版局、1939/1940年。最初は『Discovery』誌に連載（1938年）。 ウィキペディア（英語）：Mr Tompkins; ウィキペディア（英語）：George Gamow.
- MIT Game Lab『A Slower Speed of Light』（2012年、英語）; ウィキペディア（英語）：A Slower Speed of Light.
自分で走ってみよう
町の光の速さと、誰が測るかを選んで、ペダルをこごう。町の時計は20メートルおきに柱の上に立ち、あなた自身の時計は頭の上で一緒に進む。
測られるもの
長さは進行方向に縮む。あなたの座標系では町のほうが動いているので、あなたはどの家もローレンツ因子 γ の分だけ短く測る。γ = 2 なら半分の長さだ。高さは変わらない。町は町の座標系で、あなたと自転車についてまったく同じことを測る。どちらも間違っていない。長さは、誰が測るかによって決まる。
動いている時計は遅れる。町は、あなたの時計が遅れると測る。逆にあなたは、町の時計がどれも遅れると測る。矛盾しているように聞こえるが、そうではない。第三の効果があるからだ。
「同時」は座標系によって変わる。町の時計は、町の座標系でそろうように合わせてある。あなたの座標系ではそろっていない。前方の時計ほど進み、後方の時計ほど遅れていて、遠いほどその差は大きい。だから、町の時計はどれもあなたにとって遅れて進むのに、出会う時計は前の時計より遅い時刻を示している。町の時計の横を通るたびに、その時計はあなたの時計より進んでいる。このことにはあなたも町も同意する。同じ場所での比較だからだ。
ブレーキをかけると長さは元に戻る。時間の差は残る。あなたは町よりも年をとっていない。これは双子のパラドックスと同じ効果だ。
式 知りたい人へ：計算
速さを v、光の速さを c とすると、β = v/c、ローレンツ因子は γ = 1/√(1 − β²) となる。
- 進行方向の長さ：L = L₀/γ（L₀ は静止しているときの長さ）。
- 時計：あなたの時計が Δτ 進む間に、横にある町の時計は γ·Δτ 進む。
- 同時性：あなたの座標系では、町の測定で d メートル前方にある町の時計は、横にある町の時計より v·d/c² だけ進んだ時刻を示す。
例：c = 時速30 km、v = 時速26 km。すると β = 0.867、β² = 0.751、√(1 − 0.751) = 0.499 で γ = 2.00。長さ10メートルの家は約5メートルと測れる。あなたの時計で1分たつと、横にある町の時計は2分を示す。
- ウィキペディア（英語）：Length contraction; ウィキペディア（英語）：Time dilation; ウィキペディア（英語）：Relativity of simultaneity.
- A. Einstein, „Zur Elektrodynamik bewegter Körper“, Annalen der Physik 17 (1905), § 4.
見えるものは別物だ
目は測るのではなく、光を集めている。同じ瞬間に目に届く光は、町のさまざまな部分を違う時刻に出たものだ。光が遅い町ではこの伝わる時間がとても長く、それが独自のやり方で像をゆがめる。1959年、ロジャー・ペンローズとジェームズ・テレルはそれぞれ独立に、速く動く物体はただ縮んで見えるのではなく、回転したように見えることを示した。つまりガモフの自転車乗りは、測った姿で描かれていて、目に見える姿ではない。
見え方の効果のうち二つは簡単に計算でき、実験の「あなたに見えるもの」で確かめられる。色がずれる（ドップラー効果）。前方からの光は青く、後方からの光は赤くなり、速さが大きいと見えない紫外線や赤外線にまで達する。そして世界は前方に寄り集まって見える（光行差）。真横にある街灯が、前方にあるように見えるのだ。
では、私たちの世界では？
本物の光は1秒に299,792.458 km進む。時速にすると約10億8000万 km だ。時速25 km で1時間自転車に乗ると、あなたの時計はその後およそ1ピコ秒（100万分の1のさらに100万分の1秒）遅れている。効果は確かにあるが、気づくにはあまりに小さい。とても精密な原子時計を使うか、非常に速い場合にだけ測れるようになる。たとえば宇宙から来る高速の粒子や、GPS衛星の時計がそうだ。