Kapitel 04 · Die Wissenschaft

E = mc² – Masse & Energie

Eine kurze Arbeit, die Einstein im September 1905 fast nebenbei nachreichte – gibt ein Körper die Energie L ab, verliert er die Masse L/c² –, wurde zur bekanntesten Gleichung der Menschheitsgeschichte, E = mc². Sie sagt etwas Atemberaubendes: Masse und Energie sind zwei Seiten derselben Sache – und in einer winzigen Menge der einen steckt eine gewaltige Menge der anderen.

Was jedes Symbol bedeutet

E = mc2

E

Energie, gemessen in Joule.

m

Masse, gemessen in Kilogramm.

c²

Die Lichtgeschwindigkeit zum Quadrat – eine gewaltige Zahl: rund 90.000.000.000.000.000.

Das Geniale steckt in diesem c². Weil die Lichtgeschwindigkeit so riesig ist (≈ 300.000 km/s), ergibt ihr Quadrat einen so enormen Faktor, dass selbst eine federleichte Masse, vollständig umgewandelt, unfassbare Energie freisetzen würde. Masse ist gewissermaßen gefrorene Energie.

Quellen:
  1. Wikipedia: Äquivalenz von Masse und Energie.
  2. A. Einstein, „Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?“, Annalen der Physik 18 (1905).

Probiere es selbst

Masse in Energie verwandeln

Wähle etwas – eine Büroklammer, dich selbst, ein Auto – und sieh, wie viel Energie seine Masse enthält, wenn sie vollständig umgewandelt würde, wie es Einsteins Gleichung erlaubt.

Deine Vorhersage

Wie viel Energie steckt nach E = mc² in einer Büroklammer mit 1 Gramm Masse?

Interaktiv · E = mc²

Energie-Rechner

—

In der Praxis lässt sich nur ein Bruchteil der Masse umwandeln – selbst bei Kernspaltung und Kernfusion weniger als ein Prozent (etwa 0,1 % bei der Uranspaltung, 0,7 % bei der Wasserstofffusion in der Sonne), bei chemischen Reaktionen fast nichts. Nur wenn Materie auf Antimaterie trifft, wird ihre ganze Masse zu Energie. Doch das Prinzip ist exakt, und es treibt die Sterne an.

Auflösung

BRund 25 Millionen Kilowattstunden – mehr, als die Hiroshima-Bombe freisetzte.

1 Gramm entspricht rund 9 · 10¹³ Joule, das sind etwa 25 Millionen Kilowattstunden – rund 1,4-mal so viel, wie die Hiroshima-Bombe 1945 freisetzte. So viel bekäme man aber nur heraus, wenn die ganze Masse umgewandelt würde, etwa wenn Materie auf Antimaterie trifft. Bei der Kernspaltung wird nur rund ein Tausendstel der Masse zu Energie, bei chemischen Reaktionen fast nichts.

Für Neugierige: die Rechnung

E = m · c² = 0,001 kg · (299.792.458 m/s)² ≈ 8,99 · 10¹³ J. Eine Kilowattstunde sind 3,6 · 10⁶ J, also ≈ 2,5 · 10⁷ kWh. Hiroshima-Bombe: rund 15 Kilotonnen TNT ≈ 6,3 · 10¹³ J.

Quellen: Wikipedia: Äquivalenz von Masse und Energie · Wikipedia: Little Boy

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  • Finde die Masse, deren Energie einen deutschen Durchschnittshaushalt ein ganzes Jahr mit Strom versorgen würde.
  • Finde die Masse, deren Energie der Hiroshima-Bombe von 1945 entspricht (rund 6,3 · 10¹³ J). Es ist weniger als ein Gramm.
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Quellen:
  1. Die Energievergleiche sind Größenordnungs-Veranschaulichungen. Haushaltswert: rund 2.500 kWh pro Jahr für einen deutschen Durchschnittshaushalt (BDEW-Studie, wiedergegeben bei TAIYANG News, ca. 2.400–2.700 kWh); Hiroshima-Bombe: etwa 15 Kilotonnen TNT, 6,3 × 1013 J (Wikipedia (en): Little Boy). Wikipedia: Äquivalenz von Masse und Energie.

Deine Vorhersage

Links liegen zwei Protonen und zwei Neutronen einzeln. Rechts fügst du genau solche vier Teilchen zu einem Heliumkern zusammen. Was zeigt die Waage dann?

Interaktiv · Massendefekt

Die Kern-Waage

Ein Heliumkern besteht aus zwei Protonen und zwei Neutronen. Links auf der Waage liegen diese vier Bausteine einzeln. Rechts baust du aus noch einmal denselben vier Bausteinen – zwei Protonen, zwei Neutronen – einen Heliumkern. Was zeigt die Waage, wenn der Kern fertig ist?

Zieh die Teilchen auf die rechte Schale oder tippe sie an (Tastatur: Tab und Eingabe). Dann füge sie zusammen.

pnpn einzeln pnpn28,3 MeV entweichen dein Kern
4,031 883 u
links: einzeln
0,000 000 u
rechts: deine Seite
4,031 883 u
Unterschied

Links: zwei Protonen und zwei Neutronen. Rechts: noch nichts.

Das ist E = mc² bei der Arbeit: Wenn sich Teilchen fest aneinander binden, geben sie Energie ab, und mit der Energie geht Masse. Ein ähnlicher Massenschwund lässt die Sonne leuchten: Dort wird aus Wasserstoff Helium.

Der Ausschlag ist nicht maßstäblich: Der Unterschied beträgt nur 0,75 %. Massen in atomaren Masseneinheiten u (1 u ist ein Zwölftel der Masse eines Kohlenstoff-12-Atoms), Werte nach CODATA 2022.

Und im Alltag? Eine Tasse Tee

Auch Wärme ist Energie und hat damit Masse. Erhitzt du 250 g Tee von 20 °C auf die Temperatur unten, wird er um m = E/c² schwerer:

+0,70 Nanogramm schwerer
62 760 Joule Wärme · 2,8 · 10−12 der Teemasse

Messen kann das niemand. Selbst die besten Massenkomparatoren vergleichen Gewichte nur auf etwa ein Zehnmilliardstel (10⁻¹⁰) genau; der Unterschied beim Tee ist selbst bei 95 °C noch rund dreißigmal kleiner. Außerdem trägt der aufsteigende Dampf in jedem Augenblick weit mehr Masse davon.

Für Neugierige: die Rechnung
  • Proton mp = 1,007 276 466 6 u · Neutron mn = 1,008 664 916 1 u · Heliumkern mα = 4,001 506 179 1 u
  • Einzeln: 2 mp + 2 mn = 4,031 882 765 u
  • Massendefekt: Δm = 4,031 882 765 u − 4,001 506 179 u = 0,030 376 586 u, das sind 0,75 %
  • Energie: 1 u · c² = 931,494 MeV, also E = Δm · c² = 0,030 376 586 · 931,494 MeV ≈ 28,30 MeV (7,07 MeV je Kernteilchen)
  • Tee: E = m · cWasser · ΔT = 0,25 kg · 4184 J/(kg · K) · 60 K = 62 760 J; Δm = E/c² = 62 760 J / (299 792 458 m/s)² ≈ 7,0 · 10−13 kg = 0,70 ng
  • Tabellen nennen oft die Masse des ganzen Heliumatoms; die enthält zusätzlich zwei Elektronen. Für die Waage zählt nur der Kern.
Auflösung

BDer Heliumkern ist ein wenig leichter.

Der fertige Kern ist rund 0,75 % leichter als seine vier Teile einzeln. Beim Zusammenfügen entweichen 28,3 MeV Bindungsenergie, und mit der Energie geht nach E = mc² auch Masse. Wer den Kern wieder zerlegen will, muss genau diese Energie hineinstecken.

Für Neugierige: die Rechnung

Einzeln: 2 · 1,007 276 u + 2 · 1,008 665 u = 4,031 882 u. Heliumkern: 4,001 506 u. Unterschied: 0,030 376 u, also rund 0,75 %. Als Energie: 0,030 376 u · 931,494 MeV je u ≈ 28,3 MeV.

Quelle: Wikipedia: Massendefekt

Quellen:
  1. CODATA-2022-Werte (NIST): Protonenmasse, Neutronenmasse, Masse des Alphateilchens (Heliumkern), 1 u in MeV.
  2. Wikipedia: Massendefekt; Wikipedia: Bindungsenergie.
  3. Wikipedia (en): Specific heat capacity: Wasser: 4184 J/(kg · K); PTB (englisch): Massenkomparatoren: Standardabweichung unter 0,1 µg bei 1 kg im Vakuum, also etwa 10⁻¹⁰.
  4. Eigene Rechnung für Massendefekt und Tee, siehe „Für Neugierige“.

Wo es in der realen Welt auftaucht

Die Sonne

Jede Sekunde wandelt die Sonne durch Kernfusion etwa 4 Millionen Tonnen Masse in Energie um. Diese verlorene Masse ist, via E = mc², das Sonnenlicht, das Leben ermöglicht.

Kernkraft

Reaktoren spalten schwere Kerne; die Produkte wiegen etwas weniger als die Ausgangskerne. Diese fehlende Masse wird zu Wärme – und dann zu Strom.

Die Atombombe

Dieselbe Umwandlung, auf einen Schlag freigesetzt. Einsteins Gleichung erklärt die Energie, obwohl er am Bau der Waffe keinen Anteil hatte.

PET-Scans

In Kliniken treffen Antimaterie und Materie aufeinander und vergehen als Gammastrahlen in reine Energie – Masse-Energie-Umwandlung zur Bildgebung des lebenden Körpers.

Aus der speziellen Relativitätstheorie folgte, dass Masse und Energie nur verschiedene Erscheinungsformen ein und derselben Sache sind – eine für den Alltagsverstand eher ungewohnte Vorstellung.Albert EinsteinTonspur des Films „Atomic Physics“ (J. Arthur Rank Organization), 1948; aus dem Englischen übersetzt
Quellen:
  1. Wikipedia: Kernfusion (die Sonne); Äquivalenz von Masse und Energie.