第 03 章 · 科学

狭义相对论

想象你去追一束光。爱因斯坦十六岁时做过这个白日梦，并花了十年追寻它的后果。1905 年发表的答案是：空间和时间并不是我们以为的那个固定舞台——它们会伸缩，好让一样东西保持绝对：光速。

两个简单的想法

狭义相对论只建立在两条公设之上。它们听上去人畜无害。其实不然。

1 · 相对性原理

对所有以恒定速度运动的人来说，物理定律都一样。在一列平稳行驶的火车里，你做不出任何实验来判断自己是在运动还是静止。

2 · 光速不变

真空中的光速，c ≈ 299,792 公里/秒，对每一位观察者都相同——无论他或光源运动得多快。以 99% 的 c 去追一束光，它依然以完整的 c 飞速远离你。

来源：
  1. 维基百科：狭义相对论。
  2. A. Einstein，「Zur Elektrodynamik bewegter Körper」（论动体的电动力学），Annalen der Physik 17（1905）。

思想实验 · 阿劳，1895/96 年

追赶一束光

16 岁时，爱因斯坦在阿劳的州立中学读书，一个问题让他念念不忘：如果以光速去追赶一束光，会怎样？他后来回忆说，那样的话，人应当看到光是一个静止的、在空间中振荡的电磁场。可是这样的东西似乎并不存在——无论根据经验，还是根据麦克斯韦方程组。回头看，他认为相对论的萌芽就藏在这个矛盾里。

自己试一试。上面一个球以 100 千米/时飞行，下面是一束光。用滑块设定你追赶的速度——按球和光各自速度的比例计算。

互动 · 思想实验，阿劳，1895/96 年

追赶一束光

你以光速的 90% 追赶一束光。它以多快的速度离你而去？

按牛顿的预期299,792 千米/秒

实际测得299,792 千米/秒

占球和光速度的比例 · 你现在的速度 0 千米/时 · 0 千米/秒

把滑块拖到 90%：光以多快的速度离你而去？

三个任务

  1. 调到 50%：球以多快的速度远离？
  2. 让牛顿对光的预期降到 30,000 千米/秒以下。
  3. 一直推到底：99.9%。

对球来说，日常的算法是对的：直接减去你的速度就行。对光却不行。无论你多快，你测到的永远是同样的 299,792 千米/秒。这正是爱因斯坦在 1905 年放在开头的原理：真空中的光速对每一个做匀速运动的人都相同。为了让这一点对所有人同时成立，时间和长度就必须让步——本章其余部分讲的就是这个。

给好奇的你：具体计算

牛顿只是简单相减：相对速度 = u − v。按照爱因斯坦的理论，对于从地面测得的速度 u 和你在同一方向上的速度 v：

u′ = (u − v) / (1 − u·v/c²)

对光来说 u = c，所以 u′ = (c − v) / (1 − v/c) = c——对任何小于 c 的 v 都成立。对球（u = 100 千米/时，v = 90 千米/时）而言，u·v/c² ≈ 7.7 × 10⁻¹⁵：结果与 10 千米/时的差别不到一万亿分之一千米/时。所以球按日常速度飞行——在这里牛顿已经足够精确。

速度很高时，光跑道旁的柱子会挤在一起：在你的参考系中，它们的间距缩短为原来的 1/γ，γ = 1/√(1 − v²/c²)，在 99.9% 时约为 22 倍（长度收缩）。画面显示的是你测量到的情形，而不是你的眼睛会看到的样子。

来源：
  1. 维基百科（英文）：Einstein’s thought experiments，“Pursuing a beam of light”一节——爱因斯坦在《自述》（Autobiographical Notes）中的回忆及约翰·诺顿的质疑
  2. 约翰·诺顿：Chasing the Light – Einstein’s Most Famous Thought Experiment（PDF，英文）
  3. 维基百科：光速
  4. 维基百科：迈克耳孙-莫雷实验
  5. 维基百科（英文）：Emission theory，“Terrestrial sources”一节（Alväger 等，1964 年）
  6. 维基百科：速度加成式

随之而来：时间会变慢

从这两条公设出发，爱因斯坦推导出的效应此后被无数次证实——通过粒子加速器、环绕地球飞行的原子钟，以及你手机里的 GPS。

时间膨胀

运动的时钟比静止的走得慢。跑得足够快，你就会比留在原地的人老得更慢。

长度收缩

运动的物体在其运动方向上被测得更短。接近光速时，一艘飞船看上去会被压扁。

同时性的相对性

在你看来同时发生的两个事件，对相对于你运动的人来说，可能发生在不同时刻。「现在」并不是普适的。

宇宙速度上限

任何有质量的东西都无法达到 c。越接近它，所需的能量就越大——没有上限。这正是 E = mc² 所描述的。

来源：
  1. 维基百科：时间膨胀；长度收缩。

思想实验 · 爱因斯坦 1917

火车与闪电：「同时」是什么意思？

在通俗读物《狭义与广义相对论浅说》（德文原版，序言写于 1916 年 12 月，1917 年由不伦瑞克的 Vieweg 出版社出版）中，爱因斯坦构想了一幅至今几乎出现在每本教科书里的图景。一列很长的火车沿着路基匀速行驶。闪电击中了两个地方：A 和 B。在路基上、恰好位于 A 与 B 正中间的地方，站着观察者 M；在火车中部坐着观察者 M′，雷击发生的那一刻他正好经过她身旁。

两道闪电的光在同一时刻到达 M——对路基来说，两次雷击是同时的。但 M′ 正迎着来自 B 的光驶去，又在远离来自 A 的光。他先看到 B。由于在火车里光速同样在两个方向上都相同，而两个雷击点在火车上与他的距离也相等，他只能得出结论：B 比 A 先被击中。这不是光的传播时间造成的错觉，而是扣除传播时间之后依然剩下的差别。

你的预测

在火车参考系中，B 比 A 先被击中。如果火车速度加倍——从光速的 40% 变成 80%——这个时间差会怎样？

互动 · 思想实验

火车与闪电

–
两次雷击之间的时间差（在此参考系中测量）
–
火车中部的 M′ 先看到哪一道闪电（此参考系中的时间）

路基上 A–B 的距离：300 米。零时刻：M′ 经过 M 的那一瞬间。

答案

C变得比两倍还大。

在光速的 40% 时，火车上的 B 比 A 早约 437 纳秒被击中；在 80% 时约为 1334 纳秒——大约是三倍。时间差比速度增长得更快，因为洛伦兹因子 γ 也在增大。这不是光传播时间造成的错觉，传播时间已经扣除：什么算同时，取决于参考系。

给好奇的你：计算过程

火车上的时间差：Δt′ = γ · v · L / c²，L = 300 m，所以 L / c ≈ 1000.7 ns。40% 时：γ = 1 / √(1 − 0.4²) ≈ 1.091，Δt′ ≈ 1.091 × 0.4 × 1000.7 ns ≈ 437 ns。80% 时：γ ≈ 1.667，Δt′ ≈ 1.667 × 0.8 × 1000.7 ns ≈ 1334 ns。

来源: Wikipedia: 相對同時

任务已完成 0/2

  • 调节速度，让闪电对火车来说也同时击中。
  • 切换到火车上的视角，找出让 B 比 A 早一微秒（1000 ns）以上被击中的最低速度。
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把计算器切换到「从火车上看」：现在火车静止，路基从旁滑过，两道闪电确实是先后落下的。两幅图景描述的是同样的事件，并且对谁在什么时候、按什么顺序看到什么，结论完全一致。在火车自己的参考系里，火车显得更长，因为它的静止长度是从路基上测得长度的 γ 倍。

计算器使用洛伦兹变换 t′ = γ·(t − v·x/c²)。在路基参考系中相距 L、同时发生的两个事件，在火车参考系中相隔 γ·v·L/c²——以一半光速、300 米计算，约为 578 纳秒。若车速是每小时 100 公里，就只有约 0.09 皮秒，不到一万亿分之一秒的十分之一；所以日常生活中没有人察觉得到。顺带一提，1905 年的论文里还没有这列火车：爱因斯坦在那里是从「如何让相隔很远的时钟同步」这个问题推导出同时性的相对性的。

相对于路基是同时的事件，相对于火车并不同时，反之亦然（同时性的相对性）。阿尔伯特·爱因斯坦《狭义与广义相对论浅说》第 9 节（1917），译自德文
来源：
  1. A. Einstein，Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie，Braunschweig：Vieweg 1917，第 9 节（Project Gutenberg）；R. W. Lawson 授权英译本（1920）：Relativity: The Special and the General Theory，第 IX 章。
  2. 维基百科：Relativity of simultaneity——1905 年的论文中没有火车；洛伦兹变换。

亲自试试

时间膨胀机器

时间究竟会慢多少？拖动滑块，把你的速度设为光速的一个比例，看看一年的旅行会发生什么。

你的预测

一枚火箭以光速的 87% 飞行。从地球上测量：飞船上的钟走过一年时，地球上过去了多少年？

互动 · 狭义相对论

光钟

0
地球上的滴答数
0
火箭上的滴答数
同一座光钟，用两种方式展示。一个光子在两面镜子之间来回弹跳——每弹一次算一「滴答」。火箭飞得越快，光子走的对角线路径越长，于是它滴答得越慢。在下方设置速度。
1.15
洛伦兹因子 γ（「拉伸」）
1.15 年
在地球上流逝……
1.00 年
……对应你在飞船上度过的每一年

在 99.9% 的光速下，你的一年在家乡是 22 年多。把滑块推到最右，看着 γ 在你逼近 c 时冲向无穷大。

答案

B大约两年。

在光速的 87% 时，洛伦兹因子 γ ≈ 2：飞船上每过一年，地球上大约过去两年。飞船上的钟并没有坏：从地球上测量，运动的钟里时间确实走得更慢——而从飞船上测量，反过来地球上的钟也同样走得更慢。这叫时间膨胀。日常速度下这个效应微乎其微；接近光速时，它会无限增大。

给好奇的你：计算过程

γ = 1 / √(1 − v²/c²) = 1 / √(1 − 0.87²) = 1 / √0.2431 ≈ 2.03。

来源: Wikipedia: 時間膨脹

任务已完成 0/2

  • 调节速度，让宇航员的时间只走一半那么快（从地球上测量）。
  • 找出这样的速度：飞船上过一年，地球上大约过十年。
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来源：
  1. 维基百科：时间膨胀 — 实验验证。
  2. 维基百科：GPS — 相对论修正。

用你自己的年龄试试

双生子佯谬

时间膨胀有一个著名的推论。早在 1905 年，爱因斯坦就得出结论：两座同步的时钟中，若把其中一座从 A 移到 B，它之后就会比一直在 B 等候的那座时钟慢。1911 年，法国物理学家保罗·朗之万把它讲成了一位太空旅行者的故事：旅行者只老了两岁，地球上却已过去 200 年。今天人们用双胞胎来讲：一个留在地球上，另一个以接近光速飞往一颗恒星再返回——回来时比自己的姐妹年轻。

你的预测

你以光速的 99% 飞往半人马座 α（4.34 光年）再飞回来。对飞船上的你来说，这趟旅行要多久？

互动 · 狭义相对论

你自己的双生子之旅

–
– 年
船上经过
– 年
地球上经过
–
洛伦兹因子 γ

简化处理：去程和回程都保持匀速，瞬间掉头；加速与减速阶段略去不计。

答案

A大约 1.2 年。

地球上过去约 8.8 年（以 99% 光速往返 8.7 光年）。飞船上的钟慢了 γ ≈ 7.1 倍：对你来说只过了约 1.2 年。你回来时比你的双胞胎姐妹年轻。这并不矛盾，因为只有你掉了头，改变了自己的参考系。

给好奇的你：计算过程

地球时间 T = 2 · 4.344 光年 ÷ 0.99 c ≈ 8.78 年。γ = 1 / √(1 − 0.99²) ≈ 7.09。飞船时间 τ = T ÷ γ ≈ 1.24 年。

来源: Wikipedia: 双生子佯谬

任务已完成 0/2

  • 规划一次旅行，让你回来时至少比你的姐妹年轻十岁。
  • 飞往参宿四（约 550 光年），并在有生之年回来——最多 120 岁。
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计算器有意做了简化：飞船往返都保持匀速，并瞬间掉头；加速、掉头和减速都略去不计，地球被视为静止。这样，地球上经过的时间是 2 × 距离 ÷ 速度；船上只经过其中的 γ 分之一。距离数据取自英文维基百科；参宿四的距离尚不确定（约 400 到 600 光年）。

来源：
  1. 维基百科：Twin paradox——爱因斯坦 1905、朗之万 1911、两个惯性系、无需加速度的折返。
  2. 距离（英文维基百科）：Alpha Centauri（比邻星 4.2465 光年，α Cen AB 4.344 光年）；Sirius（8.6 光年）；Betelgeuse（548 光年；估计值 400–600 光年）；Galactic Center（约 26,000 光年）；Andromeda Galaxy（约 250 万光年）。

时空：闵可夫斯基的馈赠

约 1920 年的阿尔伯特·爱因斯坦，正值他早期声望的顶峰
约 1920 年的爱因斯坦。此时相对论已让他名扬世界。图片: Unknown photographer (ETH-Bibliothek Zürich). 公有领域, 通过维基共享资源 (来源)

1908 年，数学家赫尔曼·闵可夫斯基——他曾是爱因斯坦在苏黎世联邦理工学院的老师——证明，狭义相对论最自然的描述方式，是把空间与时间融合成单一的四维结构：时空。事件不只有一个地点，而是有一个地点和一个时刻，二者交织在一起。

起初，爱因斯坦把这个想法当作数学上的点缀而不以为然。他很快改变了看法。时空成了他建造杰作的舞台——广义相对论，在那里，这块结构本身会弯曲。

对我们这些信奉物理学的人来说，过去、现在与未来之间的区分，只具有一种幻觉的意义，尽管是顽固的幻觉。阿尔伯特·爱因斯坦致米歇尔·贝索家人的信，1955 年 3 月 21 日，译自德文
来源：
  1. 维基百科：闵可夫斯基空间。