第 04 章 · 科学

E = mc²——质量与能量

1905 年 9 月，爱因斯坦几乎是顺手补写了一篇短文——一个物体放出能量 L，其质量就减少 L/c²——这成了人类历史上最广为人知的方程，E = mc²。它道出了一件惊人的事：质量与能量是同一事物的两副面孔——其中一方的微小数量，藏着另一方的巨大数量。

每个符号的含义

E = mc2

E

能量，以焦耳为单位。

m

质量，以千克为单位。

c²

光速的平方——一个庞大的数：约为 90,000,000,000,000,000。

妙处就在那个 c²。由于光速极其巨大（≈ 30 万公里/秒），把它平方得到的乘数大到：哪怕一根羽毛那么点质量，若被完全转化，也会释放出惊人的能量。质量，本质上就是被冻结的能量。

来源：
  1. 维基百科：质能等价。
  2. A. Einstein，「Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?」（物体的惯性是否取决于其所含能量？），Annalen der Physik 18（1905）。

亲自试试

把质量变成能量

挑一样东西——一枚回形针、你自己、一辆汽车——看看若按爱因斯坦的方程把它的质量完全转化，会蕴含多少能量。

你的预测

按照 E = mc²，一枚质量为 1 克的回形针里有多少能量？

互动 · E = mc²

能量计算器

—

实际上我们只能转化一丁点质量——即便是核裂变和核聚变，也不到百分之一（铀裂变约 0.1 %，太阳中的氢聚变约 0.7 %），化学反应中几乎为零。只有物质与反物质相遇，全部质量才会化为能量。但这个原理是精确的，正是它点亮了群星。

答案

B约 2500 万千瓦时——比广岛原子弹释放的能量还多。

1 克相当于约 9 × 10¹³ 焦耳，也就是约 2500 万千瓦时——约为 1945 年广岛原子弹释放能量的 1.4 倍。不过，只有全部质量都转化时才能得到这么多，例如物质与反物质相遇时。核裂变中只有约千分之一的质量变成能量，化学反应中几乎为零。

给好奇的你：计算过程

E = m · c² = 0.001 kg ·（299,792,458 m/s）² ≈ 8.99 × 10¹³ J。1 千瓦时 = 3.6 × 10⁶ J，所以 ≈ 2.5 × 10⁷ 千瓦时。广岛原子弹：约 1.5 万吨 TNT 当量 ≈ 6.3 × 10¹³ J。

来源: Wikipedia: 質能等價 · Wikipedia: 小男孩原子彈

任务已完成 0/2

  • 找出这样一个质量：它的能量够一个普通美国家庭用一整年的电。
  • 找出能量相当于 1945 年广岛原子弹的质量（约 6.3 × 10¹³ J）。它不到一克。
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来源：
  1. 能量对比为数量级示意。家庭用电：美国家庭每年约 10,800 千瓦时（美国能源信息署（EIA），2022 年）；广岛原子弹：约 1.5 万吨 TNT 当量，6.3 × 1013 焦（维基百科（英文）：Little Boy）。维基百科：质能等价。

你的预测

左边放着分开的两个质子和两个中子。右边你把四个同样的粒子结合成一个氦核。天平会显示什么？

互动 · 质量亏损

原子核天平

氦原子核由两个质子和两个中子组成。天平左边放着这四个单独的粒子。在右边，你用另一组同样的四个粒子（两个质子、两个中子）搭出一个氦核。核搭好以后，天平会显示什么？

把粒子拖到右边的盘子上，或者点一下（键盘：Tab 键和回车键）。然后把它们合在一起。

pnpn 分开的 pnpn释放 28.3 MeV 你的核
4.031 883 u
左边：分开
0.000 000 u
右边：你这边
4.031 883 u
差值

左边：两个质子和两个中子。右边：还什么都没有。

这就是 E = mc² 在起作用：粒子紧紧结合在一起时会放出能量，能量也带走了质量。太阳发光靠的也是类似的质量损失：在那里，氢变成了氦。

天平的倾斜没有按比例画：差值只有 0.75%。质量单位是原子质量单位 u（1 u 等于一个碳-12 原子质量的十二分之一），数值取自 CODATA 2022。

日常生活中呢？一杯茶

热也是能量，所以也有质量。把 250 克茶从 20 °C 加热到下面设定的温度，茶就会重 m = E/c²：

+0.70 纳克（增加的质量）
62 760 焦耳热量 · 约为茶质量的 2.8 · 10−12

这是谁也测不出来的。最好的质量比较仪比较砝码时，精度也只有大约百亿分之一（10⁻¹⁰）；即使在 95 °C，茶的这点差别还要再小约三十倍。何况，冒出的热气每时每刻带走的质量都要多得多。

给好奇的你：计算过程
  • 质子 mp = 1.007 276 466 6 u · 中子 mn = 1.008 664 916 1 u · 氦核 mα = 4.001 506 179 1 u
  • 分开时：2 mp + 2 mn = 4.031 882 765 u
  • 质量亏损：Δm = 4.031 882 765 u − 4.001 506 179 u = 0.030 376 586 u，即 0.75%
  • 能量：1 u · c² = 931.494 MeV，所以 E = Δm · c² = 0.030 376 586 · 931.494 MeV ≈ 28.30 MeV（每个核子 7.07 MeV）
  • 茶：E = m · c水 · ΔT = 0.25 kg · 4184 J/(kg · K) · 60 K = 62 760 J；Δm = E/c² = 62 760 J / (299 792 458 m/s)² ≈ 7.0 · 10−13 kg = 0.70 ng
  • 表格里常给出整个氦原子的质量，其中还包括两个电子。对天平来说，只算原子核。
答案

B氦核轻一点。

结合好的氦核比分开的四个粒子轻约 0.75%。结合时有 28.3 MeV 的结合能释放出来，按照 E = mc²，质量也随这份能量一起离开。要把氦核重新拆开，就必须把这份能量补回去。

给好奇的你：计算过程

分开时：2 × 1.007276 u + 2 × 1.008665 u = 4.031882 u。氦核：4.001506 u。差值：0.030376 u，约 0.75%。换算成能量：0.030376 u × 931.494 MeV/u ≈ 28.3 MeV。

来源: Wikipedia: 核结合能

来源：
  1. CODATA 2022 数值（NIST）: 质子质量, 中子质量, α 粒子（氦核）质量, 1 u 对应的 MeV.
  2. 维基百科（英文）：Nuclear binding energy.
  3. 维基百科（英文）：Specific heat capacity: 水：4184 J/(kg · K); PTB（英文）：质量比较仪: 真空中 1 kg 的标准差小于 0.1 µg，约为 10⁻¹⁰.
  4. 质量亏损和茶的数值为自行计算，见“给好奇的你”。

它在现实世界中出现在哪里

太阳

太阳每秒通过核聚变把约 400 万吨质量转化为能量。这部分失去的质量，经由 E = mc²，就是让生命得以存在的阳光。

核电

反应堆分裂重原子核；产物的质量比原来的略轻。这缺失的质量变成热——再变成电。

原子弹

同样的转化，一次性释放。爱因斯坦的方程解释了其中的能量，尽管他没有参与武器的制造。

PET 扫描

在医院里，反物质与物质相遇，双双化为伽马射线形式的纯能量——质能转化被用来给活体成像。

由狭义相对论得出：质量与能量不过是同一事物的不同表现形式——对一般人的头脑来说，这是个相当陌生的观念。阿尔伯特·爱因斯坦影片《Atomic Physics》（J. Arthur Rank Organization）的配音，1948 年；译自英文
来源：
  1. 维基百科：核聚变（太阳）；质能等价。