课堂

1. 1

   开场押注

   5 分钟

   闪电击中一列行驶中的火车的两端。从路基上看，两次雷击同时发生。一位乘客正好坐在车厢正中间。她看到什么？

   • A两道闪光在同一时刻到达。
   • B先看到来自车头的闪光。
   • C先看到来自车尾的闪光。

   教师用解答

   正确答案: B

   她朝着车头方向的光运动，又远离车尾方向的光，而光从两侧以同样的速度 c 传到她这里。所以车头的闪光先到。因为她坐在正中间，她由此推断：车头那一下也一定先发生。对她来说，两次雷击不是同时的。

2. 2

   探究任务

   20 分钟

   在自己的设备上完成，可单独也可两人一组。学习单上是同样的问题。

   打开实验: 火车与闪电 光钟你自己的双生子之旅

   1. 把速度设为 0 % c，按“开始”：车厢中间的 M′ 何时看到两道闪光？再设为 50 % c 并比较。

      答案

      0 % c 时两道闪光同时到达（500 ns 后）。50 % c 时，M′ 约 334 ns 后看到车头的闪光 B，约 1001 ns 后才看到车尾的闪光 A。

   2. 切换到“从火车上看”，读出 40 % c 时两次雷击的时间间隔，再读出 80 % c 时的。间隔是两倍、更小还是更大？

      答案

      40 % c 时约 437 ns，80 % c 时约 1334 ns：略多于三倍，而不只是两倍。由于因子 γ，间隔增长得比速度更快。

   3. 打开光钟，把速度设为 99.9 % c。船上每过一年，地球上过几年？

      答案

      约 22.4 年（γ = 22.4）。50 % c 时只有 1.15 年。

3. 3

   归纳巩固

   15 分钟

   一起在黑板前。要点：

   • 光速对每个观察者都相同。迈克耳孙—莫雷等实验支持这一点；它是这个理论的出发点。
   • “同时”不是绝对的：在不同地点发生的两个事件，对一位观察者可以同时，对另一位则不同时。我们看到的并不等于我们测量的，因为必须扣除光传播所需的时间。
   • 运动的钟以因子 γ = 1/√(1 − v²/c²) 走得更慢。日常生活中 γ − 1 极小（时速 100 公里时约 4 · 10⁻¹⁵）；速度为光速的 99.9 % 时，γ 为 22.4。
   • 时间膨胀已被多次测量：来自高层大气的高速缪子、飞机上的原子钟（哈菲尔和基廷，1971 年）、卫星上的钟。同时性的相对性属于同一理论，也包含在所有这些计算之中。

   给好奇者：计算过程

   光钟：一个光脉冲在相距 d 的两面镜子之间来回反射。静止时一次“滴答”为 Δt₀ = 2d/c。若钟以速度 v 横向运动，脉冲走的是斜线。在一次“滴答”的时间 Δt 内，光走过 c·Δt，而钟前进 v·Δt。对一段路程用勾股定理：(c·Δt/2)² = d² + (v·Δt/2)²。代入 d = c·Δt₀/2，得 Δt = Δt₀ / √(1 − v²/c²) = γ·Δt₀。

4. 4

   迁移应用

   5 分钟

   课末的一个问题，或作为家庭作业。

   你以光速的 99.9 % 飞往天狼星（距离 8.6 光年）再返回。对地球上的孪生姐妹来说旅行要多久？对你来说呢？（请使用“孪生旅行”实验。）

   答案

   地球上约 17.2 年，船上约 0.77 年（大约 9 个月）。简化处理：瞬间掉头，不考虑加速过程。

继续思考学习之旅: 旅程一：“同时”到底是什么意思？伯尔尼专利局

1. 1

   开场押注

   5 分钟

   你在一个没有窗户的舱里。它是停在地球上，还是被火箭在空旷的太空中以恰好 9.81 m/s² 向上推？下面哪种说法正确？

   • A在舱里做一次小球下落实验就能看出是哪种情况。
   • B在小舱里做任何实验都无法区分这两种情况。
   • C只有一束光才能把两者区分开。

   教师用解答

   正确答案: B

   在两种情况下，松手的小球都以 9.81 m/s² 落到地板上，光的表现也相同。这就是爱因斯坦 1907 年的想法：在局部范围内，引力和加速度无法区分。（很大的舱会显示出潮汐差异，所以这个说法只适用于小舱。）

2. 2

   探究任务

   20 分钟

   在自己的设备上完成，可单独也可两人一组。学习单上是同样的问题。

   打开实验: 两个舱，同一个结果 膜上的凹陷太阳边缘的恒星

   1. 按“松开小球”。A 舱（在地球上）和 B 舱（火箭）里分别发生什么？比较两个加速度。

      答案

      两个舱里小球都以 9.81 m/s² 落向地板。从里面看没有任何区别。

   2. 打开灯。光束在两个舱里各怎样运动？为什么图上写着“夸大显示”？

      答案

      两个舱里光束都同样向下弯曲。在 2 米宽的舱里，1 g 时光束实际只下沉约 2 · 10⁻¹⁶ m，因为光走完这段距离只需约 7 ns。图中是夸大的。

   3. 按“打开窗户”。哪个舱停在地球上，哪个舱在太空中被加速？你能从里面判断出来吗？

      答案

      A 舱停在地球上，B 舱在空旷的太空中被火箭以 1 g 加速。窗户关着时，小舱里的任何东西都无法透露区别。

3. 3

   归纳巩固

   15 分钟

   一起在黑板前。要点：

   • 没有空气阻力时，重的和轻的物体下落得一样快。1971 年在月球上（阿波罗 15 号），锤子和羽毛同时落地。
   • 这是因为引力所拉的“引力质量”和抵抗加速的“惯性质量”相等。这一点已被检验到约 10⁻¹⁵ 的精度（MICROSCOPE 卫星，2022 年最终报告）。
   • 爱因斯坦由此得出：在很小的区域内，自由下落抵消了引力，站在地面上则相当于被向上加速。他后来称这个想法是自己一生中最幸福的思想。
   • 结论：既然光在加速的舱里会弯曲，它在引力场里也必然弯曲。1919 年太阳附近的星位测量证实了这一点（见日食实验）。橡胶膜的图像只显示弯曲的空间；对慢速物体来说，时间的弯曲作用更大。

   给好奇者：计算过程

   光束下沉多少？舱宽 2 m：光需要 t = 2 m / c = 6.7 ns。在加速的舱里，地板上升 s = ½ · g · t² = ½ · 9.81 m/s² · (6.7 · 10⁻⁹ s)² ≈ 2.2 · 10⁻¹⁶ m，比原子核还小。所以在地球附近光的弯曲极其微小，只有在太阳这样的巨大质量附近才能测到。

4. 4

   迁移应用

   5 分钟

   课末的一个问题，或作为家庭作业。

   空间站里的航天员是飘浮的，可空间站离地面只有大约 400 km。那里没有引力吗？“飘浮”究竟是什么意思？

   答案

   那里的引力仍有约 8.7 m/s²，大约是地面数值的 89 %。空间站和航天员一起绕地球自由下落。在自由下落中，就像坠落的电梯里一样，人感觉不到重量。

继续思考学习之旅: 旅程二：为什么万物下落一样快？伯尔尼专利局

1. 1

   开场押注

   5 分钟

   一盏很亮的红灯照在金属板上，打不出任何电子。你换成一盏很暗的紫灯。会发生什么？

   • A仍然什么也没有：这盏灯太弱了。
   • B立刻有少数几个电子离开金属。
   • C要等一段时间，等金属积累了足够的能量，电子才会离开。

   教师用解答

   正确答案: B

   紫光每一份携带的能量（约 3.1 eV）比红光（约 1.8 eV）大。对像钠这样每个电子需要约 2.3 eV 的金属来说，一份紫光就够了，而一份红光永远不够。亮度只决定到达的份数：暗的紫灯打出的电子少，但立刻就有。

2. 2

   探究任务

   20 分钟

   在自己的设备上完成，可单独也可两人一组。学习单上是同样的问题。

   打开实验: 光 vs. 电子

   1. 把频率滑块从低拖到高。电子在哪个频率第一次离开金属？

      答案

      在 5.5 与 5.6 × 10¹⁴ Hz 之间。到 5.6 时显示变为“电子被打出”，并显示 0.02 eV。

   2. 读出 8 × 10¹⁴ Hz 和 12 × 10¹⁴ Hz 时电子的动能。它随频率怎样变化？

      答案

      分别是 1.01 eV 和 2.66 eV。频率越高，电子得到的能量越大：每增加 10¹⁴ Hz 约增加 0.41 eV。

   3. 用 E = h · f（h = 4.14 · 10⁻¹⁵ eV·s）计算 8 × 10¹⁴ Hz 时一份光的能量，再减去逸出功 2.3 eV。结果与显示相符吗？

      答案

      E = 4.14 · 10⁻¹⁵ eV·s · 8 · 10¹⁴ Hz = 3.31 eV。3.31 eV − 2.3 eV = 1.01 eV，正是显示的数值。

3. 3

   归纳巩固

   15 分钟

   一起在黑板前。要点：

   • 波动图像预言：更亮的光带来更多能量，所以任何颜色只要足够亮就该打出电子，也许要等一会儿。测量结果却不同：低于某个极限频率，无论多亮都没有反应（至少在普通光强下如此）；高于它，电子立刻出现。
   • 亮度只改变电子的数量（电流），不改变它们的最大能量。最大能量只取决于频率。
   • 爱因斯坦的解释（1905 年）：光一份一份地到来，每份能量为 E = h · f。一份光最多打出一个电子：E(动能,最大) = h · f − W，W 为逸出功。低于 f₀ = W / h 时，每一份都太小。
   • 密立根在实验中检验了这个公式（约 1914 至 1916 年）。爱因斯坦获得 1921 年诺贝尔物理学奖，主要是因为光电效应定律，而不是相对论。光在干涉和衍射中仍表现出波的行为：它两种性质都有。

   给好奇者：计算过程

   E = h · f，其中 h = 6.626 · 10⁻³⁴ J·s = 4.136 · 10⁻¹⁵ eV·s（1 eV = 1.602 · 10⁻¹⁹ J）。W = 2.3 eV 时的阈值：f₀ = W / h = 2.3 eV / 4.136 · 10⁻¹⁵ eV·s ≈ 5.6 · 10¹⁴ Hz，波长 λ = c / f₀ ≈ 540 nm（绿色）。速算：以 eV 计的 E = 1240 / 以 nm 计的 λ。红光（700 nm）为 1.8 eV，紫光（400 nm）为 3.1 eV，UV-B（300 nm）为 4.1 eV。

4. 4

   迁移应用

   5 分钟

   课末的一个问题，或作为家庭作业。

   为什么紫外线能在化学上损伤皮肤细胞，而红灯的光不能？（提示：光电效应的思路。）

   答案

   打断一个化学键需要每一份光至少有一定能量，几个 eV。一份 UV-B 约 4.1 eV，一份红光只有约 1.8 eV，而且在普通光强下，许多份红光不会叠加成一次断键。很强的红光可以使皮肤变热，但那是另一种效应。

继续思考学习之旅: 旅程三：光是由什么组成的？

1. 1

   开场押注

   5 分钟

   一枚回形针质量为 1 克。假设能把它的全部质量变成电能，会有多少？

   • A大约 25 千瓦时。
   • B大约 25000 千瓦时。
   • C大约 2500 万千瓦时。

   教师用解答

   正确答案: C

   E = m · c² = 0.001 kg · (3 · 10⁸ m/s)² ≈ 9 · 10¹³ J。按 1 kWh = 3.6 · 10⁶ J 计算，约为 2500 万 kWh。因子 c² 极大，所以哪怕很小的质量也对应巨大的能量。实际上没有人能把一枚回形针完全转化。

2. 2

   探究任务

   20 分钟

   在自己的设备上完成，可单独也可两人一组。学习单上是同样的问题。

   打开实验: 能量计算器

   1. 按下“回形针（1 克）”按钮。记下以焦耳和千瓦时表示的能量。

      答案

      约 8.99 · 10¹³ J，约合 2500 万 kWh（显示为 24,965,422 kWh）。

   2. 再按“一个人（62 千克）”。能量是回形针的多少倍？为什么恰好是这个倍数？

      答案

      是 62000 倍（5.57 · 10¹⁸ J），因为能量与质量成正比，而 62 kg 恰好是 62000 g。

   3. 实验里把结果与广岛原子弹（约 6.3 · 10¹³ J）作比较。调整质量，直到比较显示约“1×”。这是多少质量？

      答案

      约 0.7 g：m = E / c² = 6.3 · 10¹³ J / 9.0 · 10¹⁶ m²/s² ≈ 0.7 g。爆炸前后物质的质量相差不到一克。

3. 3

   归纳巩固

   15 分钟

   一起在黑板前。要点：

   • 每个静止的物体都有静能 E₀ = m · c²。因为 c² 极大（9 · 10¹⁶ m²/s²），很少的质量对应很多的能量。
   • 这个公式并不是说质量“消失”了。它说的是：一个系统放出能量时，它的质量减少 Δm = ΔE / c²，放出的东西（光、热）带走了这一份。
   • 燃烧煤炭时质量的变化大约是三十亿分之一，小得无法称量。在核反应中是可以测出的：铀裂变时约 0.1 %，太阳中氢聚变成氦时约 0.7 %。
   • 太阳以 3.8 · 10²⁶ W 的功率辐射。这使它每秒损失大约 430 万吨质量，而它已经这样持续了几十亿年。

   给好奇者：计算过程

   E = m · c²，c = 299,792,458 m/s，所以 c² = 8.99 · 10¹⁶ m²/s²。1 g = 0.001 kg 时：E = 8.99 · 10¹³ J。1 千瓦时为 3.6 · 10⁶ J，所以 E ≈ 2.5 · 10⁷ kWh。与广岛的比较：15 千吨 TNT 约为 6.3 · 10¹³ J（1 kt = 4.184 · 10¹² J），所以 m = 6.3 · 10¹³ J / 8.99 · 10¹⁶ m²/s² ≈ 7.0 · 10⁻⁴ kg = 0.70 g。

4. 4

   迁移应用

   5 分钟

   课末的一个问题，或作为家庭作业。

   太阳以 3.8 · 10²⁶ 瓦的功率辐射。它每秒因辐射损失多少吨质量？（把 E = m · c² 改写成求质量的形式。）

   答案

   每秒 Δm = 3.8 · 10²⁶ W / 9.0 · 10¹⁶ m²/s² ≈ 4.2 · 10⁹ kg，每秒 400 多万吨（用更精确的数值 3.83 · 10²⁶ W 和 8.99 · 10¹⁶ m²/s² 计算，是 4.26 · 10⁹ kg）。与太阳约 2 · 10³⁰ kg 的质量相比，这非常少，所以它能再照耀几十亿年。

继续思考学习之旅: 旅程三：光是由什么组成的？

1. 1

   开场押注

   5 分钟

   GPS 卫星在约 20200 km 的高度、以约 14000 km/h 的速度绕地球运行。由于相对论，它们的钟与地面上的钟走得不一样。它们每天走快多少？

   • A大约 38 纳秒。
   • B大约 38 微秒（百万分之一秒）。
   • C大约 38 毫秒（千分之一秒）。

   教师用解答

   正确答案: B

   合计每天约快 38.6 微秒。这听起来微不足道，但光在这段时间里能走约 11.6 km，而 GPS 靠测量信号传播时间工作。两个效应叠加：卫星的速度让它的钟变慢（每天 −7.2 µs），那个高度上较弱的引力让它的钟变快（每天 +45.8 µs）。

2. 2

   探究任务

   20 分钟

   在自己的设备上完成，可单独也可两人一组。学习单上是同样的问题。

   打开实验: 不做相对论修正的 GPS 光钟

   1. 让两个开关都保持打开，把天数设为 1 天。读出钟的差值和下面的距离。

      答案

      +38.6 µs 和 11.6 km（光在这段时间内走过的距离）。

   2. 关掉“较弱的引力”，只留下速度效应。差值的符号是什么？这对卫星钟意味着什么？

      答案

      每天 −7.2 µs（约 2.2 km 的光程）：仅由于速度，卫星钟会走慢，就像任何运动的钟一样。

   3. 再把两个效应都打开，把天数拖到 30。差值随天数怎样增长？

      答案

      成正比：30 天后为 +1,158 µs，约 347 km。两个钟每天以同样的量继续拉开。

3. 3

   归纳巩固

   15 分钟

   一起在黑板前。要点：

   • 接收机测量几颗卫星信号的传播时间。光在一纳秒内走约 30 cm，所以钟必须精确到几纳秒。
   • 两个符号相反的效应：运动的钟走得慢（狭义相对论，每天 −7.2 µs）；处在较弱引力中的钟走得快（广义相对论，每天 +45.8 µs）。合起来，卫星钟每天快 38.6 µs。
   • 因此工程师在发射前就把卫星钟调得稍慢一点：10.23 MHz 变为 10.22999999543 MHz（阿什比，2003 年）。这样它们在轨道上就与地球时间一致。
   • GPS 因此是同时应用爱因斯坦两个理论的日常例子，每一个导航应用都依赖这两者。

   给好奇者：计算过程

   钟差对应的光程：c · Δt = 299,792 km/s · 38.6 · 10⁻⁶ s ≈ 11.6 km 每天。频率偏移：38.6 µs / 86,400 s ≈ 4.47 · 10⁻¹⁰；10.23 MHz · (1 − 4.47 · 10⁻¹⁰) = 10.22999999543 MHz。说明：11.6 km 是钟误差对应的光程，并不是确切的位置误差，因为所有卫星共有的误差会被接收机自己消去。它给出了数量级，也说明了为什么要内置修正。

4. 4

   迁移应用

   5 分钟

   课末的一个问题，或作为家庭作业。

   一个 GPS 信号从正上方的卫星传来，走过 20200 km。需要多久？光在一纳秒内走多远？如果你想把位置定到几米以内，这对钟意味着什么？

   答案

   20200 km / 299792 km/s ≈ 0.067 s。1 ns 内光走约 0.3 m，所以要把位置精确到几米，计时必须精确到约十纳秒。

继续思考学习之旅: 旅程一：“同时”到底是什么意思？

1. 1

   开场押注

   5 分钟

   1939 年 8 月，一封有阿尔伯特·爱因斯坦签名的信送到了美国总统罗斯福手中。下面哪种说法正确？

   • A爱因斯坦多年参与美国的原子弹计划。
   • B利奥·西拉德起草了这封信，爱因斯坦签了名。爱因斯坦没有参加后来的原子弹计划。
   • C爱因斯坦独自写了这封信，并领导了原子弹计划。

   教师用解答

   正确答案: B

   1939 年 8 月 2 日的这封信主要由物理学家利奥·西拉德起草，由爱因斯坦签名。信中警告说，新型炸弹可能成为现实，德国可能正在研制。爱因斯坦本人没有参与曼哈顿计划；美国陆军认为这位知名的和平主义者是安全隐患。

2. 2

   探究任务

   20 分钟

   在自己的设备上完成，可单独也可两人一组。学习单上是同样的问题。

   打开实验: 信件全文

   1. 读信的第一段。爱因斯坦把谁的研究作为写信的原因？他最先提到铀的哪种用途？

      答案

      他提到费米和西拉德最近的研究。最先提到的用途是一种新的重要能源。炸弹到第三段才出现。

   2. 找到谈炸弹的那一段。信的口气有多肯定？信预计这样的炸弹如何运输？

      答案

      信称这类炸弹“可以设想”，但比链式反应本身“远没有那么确定”。信预计炸弹由船运载、在港口引爆，并认为这样的炸弹可能过于沉重而不能空运。1945 年炸弹却是从飞机上投下的，所以信在这一点上说错了：1939 年的知识还很不确定。

   3. 打开第 2 页关于德国的注释。信里报告了德国的哪两件事？

      答案

      德国已经停止出售它接管的捷克斯洛伐克矿山的铀。而且德国国务秘书的儿子冯·魏茨泽克在柏林的威廉皇帝研究所工作，美国的一部分铀研究正在那里被重复。

3. 3

   归纳巩固

   15 分钟

   一起在黑板前。要点：

   • 1933 年春：希特勒上台后，当时在美国的爱因斯坦没有回德国。1933 年 3 月 28 日他在安特卫普上岸，并退出了普鲁士科学院。1933 年 10 月他抵达普林斯顿。1933 年 4 月 7 日的一项法律允许因犹太人身份或政治上不受欢迎而解雇公务员，包括大学教师。
   • 核裂变于 1938 年 12 月被发现（哈恩和施特拉斯曼），不久后得到解释（迈特纳和弗里施）。1939 年夏天，西拉德担心德国可能领先，便请爱因斯坦出面，借助他的名望。
   • 这封信显示当时的知识多么不确定：信里谈的是“可以设想”的事，并且在运输方式上说错了。1945 年，原子弹摧毁了广岛和长崎。
   • 爱因斯坦后来公开反对核武器，并在 1955 年 4 月去世前几天签署了罗素—爱因斯坦宣言。科学家是否以及何时应当发出警告、保持沉默或拒绝参与，是一个没有唯一正确答案的问题；可以依据文献讲道理地讨论。
4. 4

   迁移应用

   5 分钟

   课末的一个问题，或作为家庭作业。

   研究者很少知道别人日后会怎样使用他们的成果。选一个当下的例子（比如人工智能、基因编辑或气候研究）。研究者在发表之前应该问自己哪两个问题？

   答案

   没有唯一正确的答案。有意义的问题：谁可能利用它，用来做什么？谁可能受到伤害，可能性有多大？有办法减少伤害吗？谁来决定，谁被征询？凡是讲出理由的回答都可以接受，并与 1939 年对照：西拉德选择了向政府发出警告。

继续思考流亡与普林斯顿那封信与原子弹